Калькулятор дробей

Складывайте, вычитайте, умножайте и делите дроби онлайн

Результат деления дробей равен:

десятичная дробь:

очистить все поля

Дробь – это способ записи числа в виде отношения двух чисел: числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число), разделенных горизонтальной чертой. В математической записи это выглядит так:

ab\frac{a}{b}

где:

  • a - числитель (показывает, сколько частей мы берем)
  • b - знаменатель (показывает, на сколько частей разделено целое, не может быть равен нулю)

Виды дробей

1. По соотношению числителя и знаменателя:

  • Правильные дроби: числитель меньше знаменателя (23\frac{2}{3})
  • Неправильные дроби: числитель больше или равен знаменателю (53\frac{5}{3})

2. По форме записи:

  • Обыкновенные дроби: записываются в виде ab\frac{a}{b}
  • Десятичные дроби: записываются с помощью десятичной точки или запятой (0.750.75)
  • Смешанные дроби: целое число и правильная дробь (2132\frac{1}{3})

3. Специальные виды:

  • Периодические дроби: десятичные дроби с повторяющимися цифрами (0.333...)
  • Конечные дроби: десятичные дроби с конечным числом знаков после запятой (0.25)
  • Бесконечные дроби: дроби с бесконечным числом знаков после запятой

Основные операции с дробями

Сложение дробей

С одинаковыми знаменателями:

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются числители, а знаменатель остается прежним:

ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Пример:

25+35=55=1\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1

С разными знаменателями:

  1. Найти наименьший общий знаменатель (НОК)
  2. Привести дроби к общему знаменателю
  3. Сложить числители
  4. При необходимости сократить результат
ab+cd=adbd+bcbd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}

Пример:

12+13=36+26=56\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Вычитание дробей

С одинаковыми знаменателями:

Вычитаются числители, знаменатель остается прежним:

ac−bc=a−bc\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Пример:

45−15=35\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

С разными знаменателями:

  1. Привести к общему знаменателю
  2. Вычесть числители
  3. При необходимости сократить
ab−cd=ad−bcbd\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}

Пример:

34−12=68−48=28=14\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{6}{8} - \frac{4}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Умножение дробей

При умножении дробей:

  1. Перемножаются числители
  2. Перемножаются знаменатели
  3. При возможности сокращается результат
ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

Пример:

23×34=612=12\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Деление дробей

При делении дробей:

  1. Первая дробь умножается на обратную второй
  2. Выполняется умножение
  3. При возможности сокращается результат
ab÷cd=ab×dc=adbc\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

Пример:

34÷12=34×21=64=32\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Свойства дробей

  • Основное свойство: умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет значения дроби
  • Сокращение: деление числителя и знаменателя на их общий делитель
  • Приведение к общему знаменателю: преобразование дробей к дробям с одинаковыми знаменателями

Примеры вычислений дробей

12+14=24+14=34\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
34−12=68−48=28=14\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{6}{8} - \frac{4}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
23×34=612=12\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
212+113=52+43=156+86=236=3562\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} = \frac{5}{2} + \frac{4}{3} = \frac{15}{6} + \frac{8}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}
56÷23=56×32=1512=54=114\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}
(23+34)×56=812+912=1712×56=8572(\frac{2}{3} + \frac{3}{4}) \times \frac{5}{6} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} \times \frac{5}{6} = \frac{85}{72}
314+223112=134+8332=3912+3212=7112×23=14236\frac{3\frac{1}{4} + 2\frac{2}{3}}{1\frac{1}{2}} = \frac{\frac{13}{4} + \frac{8}{3}}{\frac{3}{2}} = \frac{39}{12} + \frac{32}{12} = \frac{71}{12} \times \frac{2}{3} = \frac{142}{36}
(213×114)+(312÷116)=73×54+72×67=3512+3=7112(2\frac{1}{3} \times 1\frac{1}{4}) + (3\frac{1}{2} \div 1\frac{1}{6}) = \frac{7}{3} \times \frac{5}{4} + \frac{7}{2} \times \frac{6}{7} = \frac{35}{12} + 3 = \frac{71}{12}
1625+34×23=45+12=810+510=1310\sqrt{\frac{16}{25}} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{5} + \frac{1}{2} = \frac{8}{10} + \frac{5}{10} = \frac{13}{10}
(56−13)2×45=(56−26)2×45=(36)2×45=14×45=15(\frac{5}{6} - \frac{1}{3})^2 \times \frac{4}{5} = (\frac{5}{6} - \frac{2}{6})^2 \times \frac{4}{5} = (\frac{3}{6})^2 \times \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

История возникновения и развития дробей

История дробей насчитывает тысячи лет. Первые упоминания о дробях были найдены в древнеегипетских папирусах, датируемых около 2000 лет до нашей эры. Древние египтяне использовали особую систему записи дробей, где числитель всегда был равен единице (так называемые аликвотные дроби).

Древний мир

  • Древний Египет: Использовал систему единичных дробей. Папирус Ахмеса (около 1650 г. до н.э.) содержит таблицы для преобразования дробей.
  • Вавилон: Развил шестидесятеричную систему дробей, которая до сих пор используется для измерения времени и углов.
  • Древняя Греция: Пифагорейцы изучали дроби как отношения чисел. Архимед использовал дроби в своих вычислениях.
  • Древний Рим: Использовал двенадцатеричную систему дробей (унции).

Средние века и эпоха Возрождения

  • Индийские математики развили десятичную систему записи дробей.
  • Арабские ученые усовершенствовали методы работы с дробями и ввели десятичные дроби.
  • В Европе дроби получили широкое распространение благодаря работам Фибоначчи (XIII век).
  • Симон Стевин (XVI век) популяризировал десятичные дроби в Европе.

Современная эпоха

  • Развитие компьютерных технологий привело к появлению новых способов представления и вычисления дробей.
  • Создание специализированных калькуляторов для работы с дробями.
  • Внедрение дробей в программирование и компьютерные вычисления.

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя делить на ноль?

Деление на ноль не определено в математике, так как:

  • Это приводит к противоречиям в математических операциях
  • Результат такого деления не может быть выражен конечным или периодическим числом
  • При делении на числа, близкие к нулю, результат стремится к бесконечности

Как работать с отрицательными дробями?

При работе с отрицательными дробями следуйте правилам:

  • Знак минус можно ставить перед дробью или перед числителем
  • При умножении/делении дробей знаки перемножаются
  • При сложении/вычитании дробей знаки учитываются после приведения к общему знаменателю

Дроби являются фундаментальной частью математики, представляющей числа как отношение двух величин. Онлайн калькулятор дробей – это удобный инструмент для выполнения различных математических операций с дробями, который поможет быстро и точно производить вычисления.

Похожие калькуляторы

Вам также могут быть полезны следующие тематические калькуляторы: