Калькулятор логарифмов

Логарифм числа по основанию $a$ – это показатель степени, в которую возводят основание, чтобы получить данное число. Запись $\log_a b = c$ означает, что $a^c = b$.

Логарифм по любому основанию считается сразу: выберите основание 2, 10 или e (натуральный логарифм) либо введите свое основание – значение логарифма появится сразу. Ниже – свойства логарифмов, формулы и примеры решения.

Определение логарифма

Основное логарифмическое тождество связывает эту величину со степенью:

Словами: он отвечает на вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить число». Например, $\log_2 8 = 3$: основание 2 нужно возвести в степень 3, чтобы получить 8.

Основание $a$ должно быть положительным и не равным единице, а само число $b$ – строго положительным. Логарифма отрицательного числа и 0 не существует.

Свойства логарифмов

Логарифм произведения и частного

Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного – их разности:

Проверим: $\lg 2 + \lg 5 = 0{,}30103 + 0{,}69897 = 1$, и это равно $\lg 10 = 1$. Это свойство логарифмов превращает умножение в сложение.

Логарифм степени и корня

Показатель степени выносят за знак логарифма – это одно из основных свойств логарифмов:

Так, $\log_2 8^2 = 2 \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$, и прямая проверка дает то же: $\log_2 64 = 6$.

Формула перехода к другому основанию

Любой логарифм выражается через логарифмы с другим основанием:

Формула перехода применяется, когда известны только десятичный или натуральный логарифм числа: $\log_2 8 = \frac{\lg 8}{\lg 2} = \frac{0{,}90309}{0{,}30103} = 3$.

Основные тождества

Три равенства, которые следуют прямо из определения логарифма:

Основание в нулевой степени равно 1, а в первой степени – самому основанию: это свойства степени, записанные через логарифм.

Виды логарифмов

• Десятичный логарифм $\lg b = \log_{10} b$ – основание 10. Удобен для чисел, кратных десяти: $\lg 1000 = 3$.
• Натуральный логарифм $\ln b = \log_e b$ – основание $e \approx 2{,}71828$. Основной логарифм в математике: через него записывают показательные функции и формулы роста: $\ln 10 \approx 2{,}30259$.
• Логарифм по основанию 2 $\log_2 b$ – показатель степени, в которую возводят 2: $\log_2 1024 = 10$.

Как найти логарифм числа

• Основание логарифма – 2, 10, число e или свое основание больше 1.
• Число – положительное число, логарифм которого нужно найти.
• Значение логарифма округляется до 5 знаков.

Как решать логарифмы: примеры

• По определению. $\log_3 27 = 3$, так как основание 3 в степени 3 равно 27.
• Через свойство произведения. $\lg 2 + \lg 50 = \lg 100 = 2$ – сумма логарифмов равна логарифму произведения.
• Через свойство степени. $\log_4 64 = \log_4 4^3 = 3$.
• Через переход к новому основанию. $\log_2 8 = \frac{\lg 8}{\lg 2} = 3$.
• Простое логарифмическое уравнение. В уравнении $\log_2 x = 5$ по определению логарифма $x = 2^5 = 32$.

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение вида $\log_a x = c$ решается по определению логарифма: $x = a^c$. Для $\log_3 x = 4$ это дает $x = 3^4 = 81$.

Если логарифмы с одинаковым основанием стоят с обеих сторон уравнения, равны и числа под логарифмами: в уравнении $\log_2 (x + 1) = \log_2 7$ значит $x + 1 = 7$ и $x = 6$.

Перед решением записывают область допустимых значений: число под логарифмом всегда положительное. Корни уравнения подставляют обратно: число под логарифмом должно остаться положительным.

В заданиях ЕГЭ по математике чаще всего встречаются логарифмические уравнения, которые сводятся к простейшему виду свойствами логарифмов: сумму и разность логарифмов объединяют в один логарифм, а показатель степени выносят множителем.

Таблица значений логарифмов

Значения логарифмов чисел округлены до 5 знаков.

Ошибки при работе с логарифмами

• Разбить логарифм суммы. $\log_a (x + y)$ не равно $\log_a x + \log_a y$: свойства работают для произведения и частного, но не для суммы.
• Взять логарифм отрицательного числа или 0. Такого значения не существует: степень положительного основания всегда положительна.
• Использовать основание 1. Единица в любой степени дает единицу, поэтому логарифм по основанию 1 не определен.
• Спутать $\log_a x^n$ и $(\log_a x)^n$. В первом случае показатель выносится множителем, во втором в степень возводится сам логарифм.