Калькулятор логарифмов

Рассчитайте логарифм по указанному основанию, десятичный или натуральный логарифм

log

Логарифм равен:

очистить все поля

Логарифм числа N по основанию b – это показатель степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число N.

Математическая запись: log⁡b(N)=x\log_b(N) = x означает, что bx=Nb^x = N

Например:

  • log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3, потому что 23=82^3 = 8
  • log⁡10(100)=2\log_{10}(100) = 2, потому что 102=10010^2 = 100
  • log⁡3(27)=3\log_3(27) = 3, потому что 33=273^3 = 27

Основные виды логарифмов

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию ee (число Эйлера,e≈2.71828...e ≈ 2.71828...). Обозначается как ln(x)ln(x) илиlog⁡e(x)\log_e(x). Натуральные логарифмы широко используются в математическом анализе, дифференциальных уравнениях и физике.

Десятичный логарифм (lg)

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию 10. Обозначается как lg(x)lg(x) или log⁡10(x)\log_{10}(x) . Десятичные логарифмы удобны для практических вычислений и часто используются в инженерных расчетах.

Двоичный логарифм

Двоичный логарифм – это логарифм по основанию 2. Обозначается как log⁡2(x)\log_2(x). Особенно важен в информатике и теории информации, где используется для измерения количества информации и оценки сложности алгоритмов.

Свойства логарифмов

Логарифм произведения

log⁡a(x⋅y)=log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)

Логарифм частного

log⁡a(xy)=log⁡a(x)−log⁡a(y)\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)

Логарифм степени

log⁡a(xn)=n⋅log⁡a(x)\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)

Формула перехода к новому основанию

log⁡b(x)=log⁡a(x)log⁡a(b)\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}

Основные тождества

log⁡a(1)=0\log_a(1) = 0
log⁡a(a)=1\log_a(a) = 1
log⁡a(an)=n\log_a(a^n) = n

Примеры вычислений

log⁡2(16)=4\log_2(16) = 4
log⁡10(1000)=3\log_{10}(1000) = 3
log⁡3(81)=4\log_3(81) = 4
log⁡5(125)=3\log_5(125) = 3
log⁡4(64)=3\log_4(64) = 3
log⁡2(0.125)=−3\log_2(0.125) = -3
log⁡3(27)=32\log_3(\sqrt{27}) = \frac{3}{2}

Пример иррационального значения логарифма

log⁡2(6)≈2.58496\log_2(6) \approx 2.58496

Используя свойство логарифма произведения

log⁡7(343)+log⁡7(7)=4\log_7(343) + \log_7(7) = 4

Используя формулу перехода к новому основанию

log⁡4(8)=log⁡2(8)log⁡2(4)=32\log_4(8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(4)} = \frac{3}{2}

Практическое применение логарифмов

1. В финансах

  • Расчет сложных процентов
  • Анализ роста инвестиций
  • Оценка времени удвоения капитала

2. В науке

  • Измерение интенсивности звука (децибелы)
  • Измерение кислотности (pH)
  • Расчет периода полураспада радиоактивных элементов

3. В информатике

  • Оценка сложности алгоритмов
  • Сжатие данных
  • Криптография

4. В биологии

  • Моделирование роста популяций
  • Анализ биологических ритмов
  • Изучение восприятия звука и света

Как пользоваться калькулятором логарифмов

1. Выберите тип логарифма:

  • Натуральный (lnln)
  • Десятичный (lglg)
  • Двоичный (log⁡2\log_2)
  • Произвольное основание

2. Введите число, логарифм которого нужно найти

  • Число должно быть положительным
  • Можно использовать десятичные дроби

3. Если выбран произвольный логарифм, введите основание

  • Основание должно быть положительным и не равным 1

Полезные советы при работе с логарифмами

  • Помните, что логарифм определен только для положительных чисел.
  • При работе с отрицательными числами используйте логарифм модуля числа.
  • Логарифм числа меньше 1 всегда отрицательный.
  • При решении уравнений с логарифмами всегда проверяйте область допустимых значений.
  • Используйте свойства логарифмов для упрощения сложных выражений.

История логарифмов

История логарифмов начинается в XVII веке, когда шотландский математик Джон Непер опубликовал свою работу «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614). Непер разработал концепцию логарифмов как способ упрощения сложных вычислений, особенно умножения и деления больших чисел.

Позже, в 1617 году, Генри Бриггс предложил использовать десятичные логарифмы (с основанием 10), которые оказались более удобными для практических вычислений. Именно система Бриггса стала стандартом и используется до сих пор.

Леонард Эйлер в XVIII веке ввел понятие натурального логарифма (с основанием e≈2.71828...e ≈ 2.71828...), которое оказалось фундаментальным для развития математического анализа и теоретической физики.

Интересные факты о логарифмах

  • До изобретения калькуляторов логарифмические таблицы были основным инструментом для сложных вычислений.
  • Логарифмическая линейка, изобретенная в 1620-х годах, использовалась инженерами и учеными до 1970-х годов.
  • Шкала Рихтера для измерения силы землетрясений использует логарифмическую шкалу: увеличение на 1 балл означает десятикратное увеличение амплитуды сейсмических волн.
  • pH-шкала кислотности также является логарифмической: каждое изменение на 1 единицу означает десятикратное изменение концентрации ионов водорода.
  • В музыке интервалы между нотами измеряются логарифмически: октава представляет собой удвоение частоты звука.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти логарифм отрицательного числа?

Нет, логарифм определен только для положительных чисел.

Почему нельзя использовать основание 1?

Потому что любое число в степени 0 равно 1, а 1 в любой степени равна 1, поэтому уравнение 1x=N1^x = N не имеет решения при N ≠ 1.

Как связаны разные типы логарифмов?

Любой логарифм можно выразить через другой с помощью формулы перехода к новому основанию.

Почему натуральный логарифм называется натуральным?

Потому что он основан на числе e, которое естественным образом возникает во многих природных процессах.

Где используются двоичные логарифмы?

В основном в информатике, для оценки сложности алгоритмов и измерения количества информации.

Похожие калькуляторы

Вам также могут быть полезны следующие тематические калькуляторы: