Калькулятор факториалов

Рассчитайте факториал онлайн от любого числа

Факториал числа равен:

0

Факториалом числа N называется произведение всех натуральных чисел от 1 до N включительно. Обозначается факториал как N!. Математически это можно записать как:

n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n

Например, факториал 5 (5!) равен:

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=1205! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Факториал нуля по определению равен 1:

0!=10! = 1

Где применяются факториалы?

  • В комбинаторике для вычисления числа перестановок, размещений и сочетаний.
  • В теории вероятностей и статистике, например в формулах Бернулли и Пуассона.
  • Для приближенного вычисления с помощью формулы Стирлинга:
    n!≈2πn(ne)n n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
  • В математическом анализе, например в формуле Тейлора для ex:
    ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
  • В задачах на подсчет числа способов совершить действие.

Примеры вычисления факториала

Планирование маршрутов

Представьте, что у вас есть 5 городов, которые нужно посетить, и вы хотите найти количество возможных маршрутов, начиная и заканчивая в одном и том же городе. Это задача о перестановках:

(5−1)!=4!=24 маршрута(5 - 1)! = 4! = 24 \text{ маршрута}

Организация мероприятий

Если у вас есть 10 гостей, и вы хотите рассчитать, сколько существует способов рассадить их за круглый стол, то нужно вычислить количество перестановок:

(10−1)!=9!=362880 способов(10 - 1)! = 9! = 362 880 \text{ способов}

Расстановка книг на полке

Если у вас есть 7 различных книг, и вы хотите определить, сколько существует способов их расставить на полке, вы можете использовать факториал:

7!=5040 способов7! = 5 040 \text{ способов}

Вариации одежды

Представьте, что у вас есть 4 различных футболки, и вы хотите определить, сколько дней можно носить их в разном порядке, не повторяя последовательности:

4!=24 дня4! = 24 \text{ дня}

Раздача карт

Если у вас есть колода из 52 карт, и вы хотите раздать 5 карт, количество способов сделать это:

52!(52−5)!=52!47!=311875200 способов\frac{52!}{(52-5)!} = \frac{52!}{47!} = 311 875 200 \text{ способов}

Выбор из меню

Если в меню 3 закуски, 4 основных блюда и 2 десерта, и вы хотите выбрать один из каждого, количество возможных комбинаций:

3×4×2=24 комбинации3 \times 4 \times 2 = 24 \text{ комбинации}

Создание пар

Если у вас есть 5 человек и нужно составить пары, количество способов выбрать первую пару:

5!2!(5−2)!=10 способов\frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \text{ способов}

Распределение мест

Если в автобусе 10 мест и 3 пассажира, количество способов рассадить их:

10!(10−3)!=720 способов\frac{10!}{(10-3)!} = 720 \text{ способов}

Размещение картин

Если у вас есть 5 картин и 3 стены, количество способов разместить картины по одной на каждую стену:

5!(5−3)!=60 способов\frac{5!}{(5-3)!} = 60 \text{ способов}

Составление расписания

Если у вас есть 7 предметов, и нужно составить расписание на 5 дней, количество способов выбрать порядок:

7!(7−5)!=2520 способов\frac{7!}{(7-5)!} = 2520 \text{ способов}

Организация турнира

Если 6 команд участвуют в турнире, и каждая должна сыграть с каждой по одному разу, количество матчей:

6!2!(6−2)!=15 матчей\frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 \text{ матчей}

Таблица значений факториала

nn!
01
11
22
36
424
5120
6720
75 040
840 320
9362 880
103 628 800
1139 916 800
12479 001 600
136 227 020 800
1487 178 291 200
151 307 674 368 000

Факториалы играют важную роль в математике и являются основным инструментом для решения многих задач в различных областях: комбинаторике, теории вероятности и статистике. Например, число перестановок из N элементов равно N!. Вычислять большие факториалы вручную крайне утомительно и в этом поможет онлайн калькулятор факториала.

Часто задаваемые вопросы

Почему 0! = 1?

Это математическое соглашение, которое делает многие формулы более удобными и согласованными. Это определение удобно, так как позволяет сохранить непрерывность и согласованность многих математических формул и теорем, где используется факториал.

Существует ли факториал отрицательного числа?

Нет, факториал определен только для натуральных чисел и нуля.

Как вычислить факториал большого числа?

Для вычисления больших факториалов рекомендуется использовать специализированные программные средства или онлайн-калькуляторы.

Использование онлайн калькуляторов делает работу с факториалами быстрой и простой.

Похожие калькуляторы

Вам также могут быть полезны следующие тематические калькуляторы: