Факториал числа: калькулятор онлайн

Факториал числа – это произведение всех натуральных чисел от единицы до самого числа. Записывается со знаком восклицания: $n!$. Так, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

Факториал числа считается онлайн: введите число – значение факториала появится сразу. Ниже формула, таблица факториалов и примеры из комбинаторики.

Что такое факториал числа

Формально факториал определяют как произведение всех положительных целых чисел, не превосходящих данное:

Словами: чтобы вычислить факториал, перемножьте все натуральные числа от 1 до n. Значение растет очень быстро: $5! = 120$, а $10! = 3\,628\,800$.

Удобно считать факториал по рекуррентной формуле – через предыдущее значение:

Так, $6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720$. Это же правило объясняет, почему факториал определен только для неотрицательных целых чисел.

Чему равен факториал нуля

По определению $0! = 1$. Это не исключение из правила, а следствие рекуррентной формулы: из $1! = 1 \cdot 0!$ получается $0! = 1$.

В комбинаторике это объясняют так: факториал равен числу перестановок n элементов, а пустой набор можно упорядочить одним способом, поэтому 0! = 1. Единице равен и факториал единицы: $1! = 1$.

Как вычислить факториал онлайн

• Введите число в поле «Число» – неотрицательное целое.
• Значение факториала вычисляется сразу: «Факториал числа … равен».
• Предел точности. Точное значение факториала вычисляется примерно до 18!, дальше идет экспоненциальная запись, а после 170! число перестает помещаться в разрядную сетку.

Таблица факториалов

Точные значения факториалов от нуля до пятнадцати – видно, насколько быстро растет функция.

Дальше рост продолжается тем же темпом: $20! = 2\,432\,902\,008\,176\,640\,000$, а $100!$ – число из 158 цифр.

Факториал в комбинаторике

Перестановки

Факториал натурального числа отвечает на вопрос, сколькими способами можно упорядочить n различных элементов. Такие расстановки называют перестановками, и в задачах комбинаторики их количество равно $n!$.

• Перестановки 5 элементов. Число способов упорядочить 5 предметов равно $5! = 120$.
• Перестановки 7 элементов. Для 7 предметов число перестановок равно $7! = 5040$.

Размещения и сочетания

Через факториалы записывают две главные формулы комбинаторики:

Размещения $A_n^k$ считают выбор k предметов из n с учетом порядка, сочетания $C_n^k$ – без учета порядка. Формулы теории вероятностей опираются на те же выражения: число благоприятных исходов делят на общее количество способов.

Факториал с двумя восклицательными знаками

Запись $n!!$ означает произведение натуральных чисел одной четности с $n$ – от него до единицы или двойки. Для нечетного числа перемножают нечетные множители, для четного – четные.

Например, $7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 105$, а $8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384$. Это не то же самое, что факториал от факториала: $(3!)! = 6! = 720$, тогда как $3!! = 3$.

Онлайн считается обычный факториал числа, а двойной факториал находят перемножением множителей вручную.

Примеры вычисления факториала

Как посчитать факториал вручную

• Прямое перемножение. $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.
• Через предыдущее значение. $8! = 8 \cdot 7! = 8 \cdot 5040 = 40\,320$.
• Отношение факториалов. $\frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$ – общие множители сокращаются, считать 10! целиком не нужно.
• Сочетания. Число способов выбрать 2 предмета из 5: $C_5^2 = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$.

Как посчитать факториал вручную

Самый простой способ – последовательное умножение натуральных чисел. Начните с единицы и умножайте на каждое следующее, записывая значения: 1, 2, 6, 24, 120. На пятом шаге получаем факториал пяти.

Второй способ быстрее, если под рукой уже есть готовое значение: умножьте его на нужное число. Зная $10! = 3\,628\,800$, легко получить $11! = 11 \cdot 3\,628\,800 = 39\,916\,800$.

В задачах комбинаторики факториалы не перемножают до конца: в отношениях и в формулах сочетаний одинаковые множители сокращаются, и остается умножение двух-трех чисел.

Ошибки при работе с факториалом

• Считать, что 0! равен нулю. Факториал нуля равен единице – это следует из рекуррентной формулы.
• Искать факториал отрицательного или дробного числа. Факториал определен для натуральных чисел и нуля.
• Перемножать факториалы в дроби до конца. В отношении вида $\frac{n!}{(n-2)!}$ достаточно сократить общие множители.
• Складывать факториалы как обычные числа. $3! + 4! = 6 + 24 = 30$, а не $7!$.