Наибольший общий делитель (НОД) – самое большое натуральное число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. НОД(12, 18) = 6: и 12, и 18 делятся на 6, а на большее общее число – нет. Калькулятор находит НОД двух, трех и до шести чисел.
Как найти НОД разложением на простые множители
- Разложите числа на простые множители: 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3².
- Выпишите общие множители в наименьшей степени: 2² и 3.
- Перемножьте их: НОД = 2² · 3 = 12.
Алгоритм Евклида
Для больших чисел быстрее алгоритм Евклида: делите большее число на меньшее, затем делитель – на остаток, пока остаток не станет нулем. Последний ненулевой остаток – это НОД. Найдем НОД(180, 48):
- 180 : 48 = 3, остаток 36;
- 48 : 36 = 1, остаток 12;
- 36 : 12 = 3, остаток 0.
Последний ненулевой остаток – 12, значит .
Как найти НОД трех и более чисел
Найдите НОД первых двух чисел, затем НОД результата и третьего числа. НОД(24, 36, 60): НОД(24, 36) = 12, НОД(12, 60) = 12.
Таблица НОД чисел
| Числа | НОД |
|---|---|
| 4 и 6 | 2 |
| 6 и 8 | 2 |
| 12 и 18 | 6 |
| 15 и 20 | 5 |
| 8 и 12 | 4 |
| 9 и 12 | 3 |
| 10 и 15 | 5 |
| 14 и 21 | 7 |
| 16 и 24 | 8 |
| 18 и 24 | 6 |
| 24 и 36 | 12 |
| 48 и 180 | 12 |
Свойства НОД
- НОД(a, b) = НОД(b, a)
- НОД(a, 0) = |a|
- НОД(a, 1) = 1
- Если a делится на b, то НОД(a, b) = |b|
- НОД(ka, kb) = |k| × НОД(a, b)
Зачем нужен НОД
На НОД сокращают дроби: в дроби 48/180 НОД = 12, поэтому 48/180 = 4/15. Числа с НОД, равным 1, называют взаимно простыми – такую дробь уже нельзя сократить. НОД связан с наименьшим общим кратным:
Поэтому, зная НОД, легко найти НОК: НОК(12, 18) = 12 · 18 : 6 = 36. Для этого есть калькулятор НОК.
Вопросы о НОД
Как найти НОД двух чисел?
Разложите числа на простые множители и перемножьте общие множители в наименьшей степени. Для больших чисел удобнее алгоритм Евклида.
Как найти НОД алгоритмом Евклида?
Делите большее число на меньшее, затем делитель на остаток, пока остаток не станет нулем. Последний ненулевой остаток – НОД. Для 180 и 48: остатки 36, 12, 0, НОД = 12.
Как найти НОД трех чисел?
Найдите НОД первых двух чисел, затем НОД результата и третьего числа. НОД(24, 36, 60) = НОД(12, 60) = 12.
Что такое взаимно простые числа?
Числа, у которых НОД равен 1, например 8 и 9. Дробь из взаимно простых чисел сократить нельзя.
Как сократить дробь с помощью НОД?
Разделите числитель и знаменатель на их НОД. В дроби 48/180 НОД = 12, поэтому 48/180 = 4/15.
Как связаны НОД и НОК?
Произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих чисел: НОД(12, 18) · НОК(12, 18) = 6 · 36 = 12 · 18.