Калькулятор корней

Корень n-й степени из числа – это такое число, которое при возведении в степень $n$ дает исходное подкоренное число. Извлечение корня – операция, обратная возведению в степень.

Калькулятор корней извлекает корень любой степени онлайн. Введите подкоренное число и степень корня – результат появится сразу, с округлением до двух знаков после запятой.

Как извлечь корень из числа

Корень степени n из числа a записывают и считают так:

Словами: корень из числа – это число, которое нужно возвести в степень $n$, чтобы получить подкоренное выражение. Второе равенство показывает связь со степенью: извлечь корень – то же самое, что возвести число в дробную степень.

Квадратный корень

Самый частый случай – корень второй степени, у него значок степени не пишут: $\sqrt{a} = a^{0{,}5}$. Квадратный корень из 9 равен 3, потому что $3^2 = 9$. Для чисел, не являющихся точными квадратами, результат получается иррациональным: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Кубический корень и корень любой степени

Кубический корень – корень третьей степени: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$. Степень корня может быть любой: $\sqrt[5]{32} = 2$, $\sqrt[4]{81} = 3$. Чем выше степень, тем ближе результат к единице.

Как пользоваться калькулятором корней

• Укажите степень корня в поле «Степень корня» – оно стоит слева вверху, у значка радикала. Для квадратного корня введите 2, для кубического – 3.
• Введите подкоренное число в поле «Подкоренное число».
• Результат появляется сразу: калькулятор пишет «Корень …-й степени из … равен» и выводит значение, округленное до двух знаков после запятой.
• Скопируйте ответ кнопкой под результатом.

Если корень не определен – например, задана нулевая степень или четная степень при отрицательном подкоренном числе – калькулятор напишет, что результат вычислений некорректный.

Свойства корней

Корень из произведения и частного разбивается на отдельные корни, а корень из степени сокращается:

Эти свойства позволяют упрощать выражения: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$. Множитель, который извлекается точно, выносят за знак корня.

Корень из отрицательного числа

Корень четной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует: любое число в четной степени неотрицательно, поэтому $\sqrt{-4}$ не имеет решения. Калькулятор в таком случае сообщит о некорректном результате.

А вот корень нечетной степени из отрицательного числа определен: $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = -8$.

Корень из дроби и десятичного числа

Из обыкновенной дроби корень извлекают по отдельности из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

С десятичными дробями работают так же: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$, $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$. Корень из числа меньше единицы всегда больше самого числа – это отличает его от корня из чисел больше единицы.

Значения квадратных корней

Готовые значения с округлением до двух знаков – так же, как считает калькулятор корней.

Корни разных степеней

Одно и то же число дает разный результат в зависимости от степени корня:

Примеры извлечения корня

• Точный квадратный корень. $\sqrt{64} = 8$, так как $8^2 = 64$.
• Иррациональный результат. $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ – точного значения в виде дроби не существует.
• Кубический корень. $\sqrt[3]{1000} = 10$.
• Вынесение множителя. $\sqrt{50} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.
• Корень из дроби. $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$, потому что $0{,}5^2 = 0{,}25$.

Ошибки при извлечении корня

• Разбить корень из суммы. $\sqrt{9 + 16} = 5$, а не $3 + 4 = 7$: свойства работают для произведения и частного, но не для суммы.
• Извлечь корень четной степени из отрицательного числа. В действительных числах такого корня нет, и калькулятор сообщит о некорректном результате.
• Забыть про модуль. $\sqrt{a^2} = |a|$: корень из квадрата всегда неотрицателен.
• Округлить слишком рано. Промежуточные значения держат с запасом знаков, иначе накапливается погрешность.