Объем цилиндра

Объем цилиндра — это количественная мера пространства, заключенного внутри цилиндрической поверхности. Объем показывает, сколько вещества (жидкости, газа, сыпучего материала) может вместить цилиндрический сосуд, или какое пространство занимает твердое тело цилиндрической формы. Цилиндр является одним из базовых геометрических тел, и понимание принципов расчета его объема необходимо в самых различных областях человеческой деятельности.

Цилиндрическая форма встречается повсеместно в окружающем нас мире. Стаканы, банки, бочки, трубы, колонны, валы механизмов, батарейки, карандаши, свечи — все эти объекты имеют форму цилиндра или его элементы. Способность рассчитывать объем цилиндрических объектов является практическим навыком, который постоянно находит применение в быту, на производстве, в строительстве и науке.

Калькулятор объема цилиндра предназначен для вычисления объема цилиндрического тела по радиусу (или диаметру) основания и высоте, применяя формулу $V = \pi r^2h$, где объем равен произведению площади основания на высоту. Калькулятор автоматически выполняет все необходимые операции, включая возведение радиуса в квадрат и умножение на число π, что гарантирует высокую точность результатов и экономит время пользователя. Возможность ввода данных через диаметр вместо радиуса делает калькулятор удобным для практического применения, так как диаметр обычно измерить проще.

Формулы для вычисления объема цилиндра

Объем цилиндра через радиус и высоту

Это основная и наиболее часто используемая формула для вычисления объема цилиндра. Если известны радиус основания $r$ и высота $h$, объем вычисляется как произведение площади основания на высоту:

где $V$ — объем цилиндра, $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Объяснение: Объем цилиндра равен площади его круглого основания $\pi r^2$, умноженной на высоту $h$. Это можно представить как «стопку» бесконечного числа тонких круглых дисков, каждый площадью $\pi r^2$, сложенных на высоту $h$.

Объем цилиндра через диаметр и высоту

Если известен диаметр основания $d$ вместо радиуса, формула принимает вид:

где $d$ — диаметр основания цилиндра ($d = 2r$).

Вывод формулы: Поскольку радиус равен половине диаметра $r = \frac{d}{2}$, подставляем это выражение в основную формулу: $V = \pi r^2h = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2h = \frac{\pi d^2h}{4}$.

Объем цилиндра через площадь основания и высоту

Если известна площадь основания $S_{\text{осн}}$ и высота $h$, объем вычисляется просто:

где $S_{\text{осн}} = \pi r^2$ — площадь круглого основания.

Применение: Эта формула универсальна для любой призмы или цилиндра: объем равен площади основания, умноженной на высоту. Если площадь основания уже известна или измерена, не требуется дополнительно вычислять радиус.

Связь объема с другими параметрами цилиндра

Иногда требуется найти объем по косвенным данным. Полезные соотношения:

Через периметр основания: Если известен периметр (длина окружности) основания $P = 2\pi r$, то радиус $r = \frac{P}{2\pi}$, и объем:

Через площадь боковой поверхности: Если известны площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2\pi rh$ и радиус $r$, можно найти высоту $h = \frac{S_{\text{бок}}}{2\pi r}$ и затем объем.

Примеры вычисления объема цилиндра

• Задача: Найти объем цилиндра с радиусом основания 5 см и высотой 10 см.
  Решение: Используем формулу $V = \pi r^2h$. Подставляем значения: $V = 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 10 = 3{,}14 \cdot 25 \cdot 10 = 785$ см³. Ответ: 785 см³.
• Задача: Цилиндр имеет диаметр основания 8 см и высоту 15 см. Найдите его объем.
  Решение: Применяем формулу $V = \frac{\pi d^2h}{4}$: $V = \frac{3{,}14 \cdot 8^2 \cdot 15}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 64 \cdot 15}{4} = \frac{3014{,}4}{4} = 753{,}6$ см³. Ответ: 753,6 см³.
• Задача: Площадь основания цилиндра равна 50 см², высота 12 см. Вычислите объем.
  Решение: Используем $V = S_{\text{осн}} \cdot h$: $V = 50 \cdot 12 = 600$ см³. Ответ: 600 см³.
• Задача: Радиус цилиндра 3 см, высота 20 см. Найдите объем.
  Решение: $V = 3{,}14 \cdot 3^2 \cdot 20 = 3{,}14 \cdot 9 \cdot 20 = 565{,}2$ см³. Ответ: 565,2 см³.
• Задача: Диаметр основания цилиндра 10 см, высота 25 см. Определите объем.
  Решение: Радиус $r = 5$ см. $V = 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 25 = 3{,}14 \cdot 25 \cdot 25 = 1962{,}5$ см³. Ответ: 1962,5 см³.
• Задача: Объем цилиндра 1570 см³, радиус основания 5 см. Найдите высоту цилиндра.
  Решение: Из формулы $V = \pi r^2h$ выражаем высоту: $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1570}{3{,}14 \cdot 25} = \frac{1570}{78{,}5} = 20$ см. Ответ: 20 см.
• Задача: Радиус цилиндра увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Как изменился объем?
  Решение: Исходный объем $V_1 = \pi r^2h$. Новый объем $V_2 = \pi (2r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2} = 2\pi r^2h = 2V_1$. Ответ: объем увеличился в 2 раза.
• Задача: Два цилиндра имеют одинаковый объем. У первого радиус 4 см и высота 9 см. У второго высота 16 см. Найдите радиус второго цилиндра.
  Решение: $V_1 = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi$ см³. Для второго: $144\pi = \pi r_2^2 \cdot 16$, откуда $r_2^2 = 9$, $r_2 = 3$ см. Ответ: 3 см.
• Задача: Цилиндрический стакан диаметром 6 см наполнили водой до высоты 8 см. Сколько миллилитров воды в стакане?
  Решение: Радиус $r = 3$ см. Объем: $V = 3{,}14 \cdot 3^2 \cdot 8 = 3{,}14 \cdot 9 \cdot 8 = 226{,}08$ см³. Поскольку 1 см³ = 1 мл, в стакане 226,08 мл воды. Ответ: приблизительно 226 мл.
• Задача: Цилиндрический резервуар радиусом 2 м и высотой 5 м заполнен на 80%. Сколько кубических метров жидкости в резервуаре?
  Решение: Полный объем: $V = 3{,}14 \cdot 2^2 \cdot 5 = 3{,}14 \cdot 4 \cdot 5 = 62{,}8$ м³. Объем жидкости: $0{,}8 \cdot 62{,}8 = 50{,}24$ м³. Ответ: 50,24 м³.

Таблица значений объема цилиндра

Таблица с готовыми значениями объема цилиндра для различных радиусов и высот. Таблица значительно упростит расчеты и поможет быстро найти нужное значение для типовых размеров цилиндрических объектов.

Анализируя таблицу, можно увидеть закономерность: при увеличении радиуса в 2 раза (например, с 5 см до 10 см) при той же высоте объем увеличивается в 4 раза (квадратичная зависимость). При увеличении высоты в 2 раза при том же радиусе объем увеличивается ровно в 2 раза (линейная зависимость).

История изучения объема цилиндра

Понятие объема и методы его вычисления для различных тел развивались параллельно с развитием человеческой цивилизации. Уже в древнем Египте и Месопотамии люди умели приблизительно определять объемы цилиндрических сосудов для хранения зерна, воды и других продуктов. Египетские математики использовали эмпирические формулы, которые давали достаточно точные результаты для практических нужд.

Древнегреческие ученые превратили вычисление объемов в строгую математическую науку. Евклид в своих «Началах» (около 300 г. до н.э.) дал точное определение цилиндра и вывел формулу для вычисления его объема. Он доказал, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, что стало фундаментальным принципом стереометрии.

Архимед Сиракузский (287–212 гг. до н.э.) сделал революционное открытие в изучении объемов тел вращения. Он установил, что объем цилиндра относится к объему вписанного в него шара как 3:2. Более того, Архимед доказал, что если взять цилиндр, в который вписан шар (диаметр шара равен диаметру основания и высоте цилиндра), то объем цилиндра в полтора раза больше объема шара. Это открытие было настолько значимым для Архимеда, что он просил изобразить эту геометрическую композицию на своей могиле.

В средневековом арабском мире математики продолжили изучение объемов. Аль-Хорезми (780–850) и другие ученые разработали практические методы вычисления объемов различных сосудов для нужд торговли и строительства. Они создали таблицы объемов для цилиндров разных размеров, которые использовались купцами и ремесленниками.

Омар Хайям (1048–1131), известный не только как поэт, но и как выдающийся математик, изучал объемы тел вращения в связи с решением кубических уравнений. Его геометрические методы решения алгебраических задач включали построение цилиндров и других тел с заданными объемами.

В эпоху Возрождения интерес к практическому вычислению объемов возрос в связи с развитием торговли, мореплавания и артиллерии. Леонардо да Винчи (1452–1519) изучал объемы цилиндрических резервуаров для гидравлических систем. Иоганн Кеплер (1571–1630) в своей работе «Новая стереометрия винных бочек» (1615) исследовал методы вычисления объемов бочек различной формы, включая цилиндрические.

С развитием интегрального исчисления в XVII веке появились универсальные методы вычисления объемов тел произвольной формы. Исаак Ньютон (1643–1727) и Готфрид Лейбниц (1646–1716) показали, что объем тела вращения можно вычислить как определенный интеграл. Для цилиндра этот метод дает классическую формулу $V = \pi r^2h$.

В XVIII–XIX веках с развитием промышленной революции точное вычисление объемов стало критически важным для машиностроения, химической промышленности, судостроения. Инженеры разработали подробные справочники и номограммы для быстрого определения объемов цилиндрических резервуаров, труб, котлов.

В XX веке с появлением компьютеров расчеты объемов стали автоматизированными. Современные CAD-системы (системы автоматизированного проектирования) мгновенно вычисляют объемы сложных трехмерных объектов, включающих цилиндрические элементы. Однако понимание базовых формул остается важным для инженеров и ученых.

Интересные факты об объеме цилиндра

• Стандартные объемы напитков. Стандартная банка газированного напитка имеет объем 0,33 литра (330 мл или 330 см³). Этот объем не случаен — он был выбран как оптимальный компромисс между удобством употребления, технологией производства и экономикой. В США стандартная банка имеет объем 12 жидких унций (355 мл), что также соответствует цилиндрической форме с определенными пропорциями радиуса и высоты.
• Нефтяной баррель. Стандартная единица измерения объема нефти — баррель — изначально была цилиндрической бочкой объемом 42 галлона США (примерно 159 литров). Этот стандарт был установлен в 1866 году в Пенсильвании и с тех пор используется во всем мире. Современные нефтяные резервуары имеют объемы в десятки тысяч баррелей, и все они проектируются на основе цилиндрической формы.
• Топливные баки ракет. Ракета «Сатурн-5», которая доставила людей на Луну, имела огромные цилиндрические топливные баки. Второй бак первой ступени вмещал 1 204 000 литров керосина, а центральный бак третьей ступени — 252 750 литров жидкого водорода. Точный расчет объема этих цилиндрических резервуаров был критически важен для расчета траектории полета и достижения Луны.
• Олимпийские бассейны. Хотя олимпийский бассейн имеет прямоугольную форму, интересно сравнить его объем (2500 м³) с цилиндрическим резервуаром. Цилиндрический резервуар диаметром 20 м и высотой 8 м имел бы примерно такой же объем. Это помогает представить масштаб цилиндрических промышленных резервуаров.
• Музыкальная акустика. Объем цилиндрической трубы духового инструмента определяет его тембр и высоту звука. Труба длиной около 1,5 м и диаметром 1,27 см имеет объем около 19 см³. Изменяя эффективную длину трубы (открывая и закрывая клапаны), музыкант изменяет резонирующий объем и, следовательно, высоту звука.
• Объем древесины. Лесники оценивают объем древесины в стволе дерева, аппроксимируя его цилиндром. Дерево высотой 25 метров и диаметром ствола 50 см (радиус 0,25 м) имеет объем около 4,9 м³ древесины. Это важно для оценки стоимости леса и планирования лесозаготовок.
• Медицинские дозировки. Шприц — это цилиндр, и его градуировка основана на формуле объема цилиндра. Медицинский шприц объемом 10 мл имеет внутренний диаметр около 14 мм. Перемещение поршня на 1 см изменяет объем на 1,54 мл. Точность градуировки шприцев критична для правильного дозирования лекарств.
• Промышленные резервуары-гиганты. Крупнейшие цилиндрические резервуары для хранения нефти и газа достигают поразительных размеров. Резервуар диаметром 80 метров (радиус 40 м) и высотой 25 метров имеет объем около 125 600 м³ — это более 125 миллионов литров! Такой резервуар может вместить более 790 000 баррелей нефти.
• Рекордный цилиндр. Самый большой цилиндрический аквариум в мире находится в отеле «Radisson Blu» в Берлине. Аквариум «AquaDom» имеет высоту 16 метров, диаметр 11 метров и содержит около 900 000 литров морской воды (объем примерно 900 м³). В нем обитает более 1500 рыб. К сожалению, в декабре 2022 года аквариум разрушился, что стало напоминанием о колоссальном давлении, которое создает такой объем воды.
• Нанотрубки. На противоположном конце шкалы размеров находятся углеродные нанотрубки — цилиндрические структуры диаметром от 1 до 100 нанометров и длиной до нескольких микрометров. Объем одной нанотрубки диаметром 2 нм и длиной 1 мкм составляет всего около 3 × 10⁻²¹ литра, но эти крошечные цилиндры обладают удивительными свойствами и используются в нанотехнологиях.
• Паровозные котлы. Цилиндрический котел крупного паровоза мог содержать до 10–15 м³ воды. При работе вода превращалась в пар, объем которого примерно в 1600 раз больше объема воды. Таким образом, 10 м³ воды давали около 16 000 м³ пара, который двигал поршни и приводил в движение многотонный состав.
• Пивные кеги. Стандартный пивной кег (бочонок) имеет объем 50 литров и цилиндрическую форму с диаметром около 40 см и высотой около 50 см. Такой кег содержит примерно 140 стаканов пива по 0,33 л. Пивовары тщательно рассчитывают пропорции кегов для удобства транспортировки и хранения.

Вопросы и ответы

Что такое объем цилиндра?

Объем цилиндра — это количественная мера пространства, ограниченного цилиндрической поверхностью и двумя параллельными основаниями. Измеряется в кубических единицах (см³, дм³, м³, литрах). Объем показывает, сколько вещества может вместить цилиндрический сосуд. Формула: $V = \pi r^2h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Как найти объем цилиндра, зная радиус и высоту?

Объем вычисляется по формуле $V = \pi r^2h$. Нужно возвести радиус в квадрат, умножить на число π (приблизительно 3,14) и на высоту. Например, при радиусе 5 см и высоте 10 см: $V = 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 10 = 3{,}14 \cdot 25 \cdot 10 = 785$ см³. Это самый распространенный способ вычисления объема цилиндра.

В каких единицах измеряется объем цилиндра?

Объем измеряется в кубических единицах длины: мм³, см³, дм³, м³, км³. Также используются специальные единицы объема: литры (1 л = 1 дм³ = 1000 см³), миллилитры (1 мл = 1 см³), галлоны (в США и Великобритании). Выбор единиц зависит от размера объекта: для стакана — мл, для бассейна — м³, для резервуара — литры или м³.

Как найти объем цилиндра через диаметр?

Если известен диаметр $d$ вместо радиуса, используется формула $V = \frac{\pi d^2h}{4}$. Можно также сначала найти радиус $r = \frac{d}{2}$, а затем применить стандартную формулу. Например, при диаметре 10 см и высоте 15 см: $V = \frac{3{,}14 \cdot 10^2 \cdot 15}{4} = \frac{4710}{4} = 1177{,}5$ см³.

Как изменится объем цилиндра при увеличении радиуса вдвое?

При увеличении радиуса в 2 раза (при неизменной высоте) объем увеличится в 4 раза, так как в формуле $V = \pi r^2h$ радиус входит во второй степени. Если исходный объем $V_1 = \pi r^2h$, то новый объем $V_2 = \pi (2r)^2h = 4\pi r^2h = 4V_1$. Это демонстрирует квадратичную зависимость объема от радиуса.

Можно ли найти объем цилиндра, зная только площадь боковой поверхности?

Нет, зная только площадь боковой поверхности, нельзя однозначно определить объем. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2\pi rh$ зависит от произведения $rh$, а объем $V = \pi r^2h$ — от произведения $r^2h$. Существует бесконечно много комбинаций $r$ и $h$, дающих одинаковую площадь боковой поверхности, но разные объемы.

Как найти высоту цилиндра, если известен объем и радиус?

Из формулы $V = \pi r^2h$ выражаем высоту: $h = \frac{V}{\pi r^2}$. Например, если объем 1000 см³, а радиус 5 см, то высота $h = \frac{1000}{3{,}14 \cdot 25} = \frac{1000}{78{,}5} \approx 12{,}74$ см. Это полезно при проектировании резервуаров заданной вместимости.

Сколько литров воды вмещает цилиндр?

Чтобы найти объем в литрах, нужно сначала вычислить объем в кубических сантиметрах или дециметрах, а затем перевести в литры. 1 литр = 1000 см³ = 1 дм³. Например, цилиндр радиусом 10 см и высотой 20 см имеет объем $V = 3{,}14 \cdot 10^2 \cdot 20 = 6280$ см³ = 6,28 литра.

Как найти радиус цилиндра по известному объему и высоте?

Из формулы $V = \pi r^2h$ выражаем радиус: $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Например, если объем 500 см³, а высота 10 см, то радиус $r = \sqrt{\frac{500}{3{,}14 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{500}{31{,}4}} \approx \sqrt{15{,}92} \approx 3{,}99$ см. Нужно извлечь квадратный корень из отношения объема к произведению π и высоты.

Что больше: объем цилиндра или объем шара того же диаметра?

Если диаметр шара равен диаметру основания и высоте цилиндра (то есть $h = 2r$), то объем цилиндра $V_{\text{цил}} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, а объем шара $V_{\text{шара}} = \frac{4\pi r^3}{3}$. Отношение: $\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{2\pi r^3}{\frac{4\pi r^3}{3}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. Объем цилиндра в 1,5 раза больше. Это открытие Архимеда.

Как вычислить объем полого цилиндра (трубы)?

У полого цилиндра с внешним радиусом $R$, внутренним радиусом $r$ и высотой $h$ объем стенок равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров: $V = \pi R^2h - \pi r^2h = \pi h(R^2 - r^2)$. Например, труба с внешним диаметром 10 см, внутренним 8 см и длиной 100 см имеет объем материала $\pi \cdot 100 \cdot (5^2 - 4^2) = 314 \cdot 9 = 2826$ см³.

При каком соотношении размеров цилиндр имеет минимальную площадь при заданном объеме?

При фиксированном объеме минимальная площадь полной поверхности достигается, когда высота равна диаметру основания: $h = 2r$. Это можно доказать методом нахождения экстремума функции с помощью производных. Такой цилиндр называется «оптимальным» и наиболее экономичен с точки зрения расхода материала на изготовление.

Как связаны объем и масса цилиндрического объекта?

Масса твердого цилиндрического объекта связана с объемом через плотность материала: $m = \rho V = \rho \pi r^2h$, где $\rho$ — плотность. Например, алюминиевый цилиндр радиусом 5 см и высотой 10 см имеет объем 785 см³. При плотности алюминия 2,7 г/см³ масса составит $2{,}7 \cdot 785 = 2119{,}5$ г ≈ 2,12 кг.

Сколько цилиндров с радиусом 1 см поместится в цилиндр с радиусом 10 см?

Этот вопрос о плотной упаковке сложнее, чем кажется. По объему: $\frac{V_{10}}{V_1} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot h}{\pi \cdot 1^2 \cdot h} = 100$. Теоретически по объему помещается 100 маленьких цилиндров той же высоты. Однако из-за круглой формы основания и необходимости плотной упаковки реальное количество будет меньше (примерно 78–80 цилиндров при оптимальной укладке).

Как изменится объем, если радиус увеличить на 20%, а высоту уменьшить на 20%?

Новый радиус $r_2 = 1{,}2r$, новая высота $h_2 = 0{,}8h$. Новый объем: $V_2 = \pi (1{,}2r)^2 \cdot 0{,}8h = \pi \cdot 1{,}44r^2 \cdot 0{,}8h = 1{,}152\pi r^2h = 1{,}152V_1$. Объем увеличится на 15,2%. Квадратичная зависимость от радиуса «перевешивает» линейное уменьшение высоты.

Можно ли разделить цилиндр на части с одинаковым объемом?

Да, цилиндр можно разделить на части равного объема различными способами. Горизонтальными плоскостями: если разделить высоту на $n$ равных частей, получится $n$ цилиндров высотой $\frac{h}{n}$ и одинаковым объемом $\frac{V}{n}$ каждый. Вертикальными плоскостями через ось: можно разделить на $n$ секторов с углом $\frac{360°}{n}$.

Какой объем имеет цилиндр, если его площадь полной поверхности 600 см², а радиус 5 см?

Из формулы площади $S_{\text{полн}} = 2\pi r(h + r)$: $600 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 \cdot (h + 5)$. $600 = 31{,}4(h + 5)$. $h + 5 = 19{,}1$. $h = 14{,}1$ см. Объем: $V = 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 14{,}1 = 3{,}14 \cdot 25 \cdot 14{,}1 = 1107{,}85$ см³. Сначала находим высоту из площади, затем вычисляем объем.

Почему консервные банки цилиндрические?

Цилиндрическая форма оптимальна по нескольким причинам: 1) равномерное распределение давления при стерилизации; 2) простота изготовления из листового металла; 3) хорошее соотношение объема к площади поверхности, экономия материала; 4) удобство штабелирования и транспортировки; 5) отсутствие углов, где могла бы скапливаться коррозия; 6) эстетическая привлекательность и удобство этикетирования.

Как найти объем цилиндрического сегмента?

Цилиндрический сегмент — часть цилиндра, отсеченная плоскостью, параллельной оси. Объем сегмента зависит от высоты сегмента $h_s$ (расстояние от хорды до дуги). Формула сложная: $V = r^2L\left(\arccos\frac{r-h_s}{r} - \frac{r-h_s}{r}\sqrt{1-\left(\frac{r-h_s}{r}\right)^2}\right)$, где $L$ — длина цилиндра. Для практических расчетов используют таблицы или компьютерные программы.

Какой цилиндр вмещает больше: высокий и узкий или низкий и широкий?

Это зависит от конкретных размеров. Два цилиндра могут иметь одинаковый объем при разных пропорциях. Например, цилиндр с $r=2, h=25$ и цилиндр с $r=5, h=4$ имеют примерно одинаковый объем (около 314 см³). Однако при одинаковой площади поверхности более «сбалансированный» цилиндр (где $h \approx 2r$) будет иметь больший объем.

Как используется объем цилиндра в двигателях внутреннего сгорания?

В двигателях объем цилиндра (рабочий объем) — это объем, который описывает поршень при движении от верхней мертвой точки до нижней. Рассчитывается как $V = \pi r^2 \cdot S$, где $S$ — ход поршня. Суммарный рабочий объем всех цилиндров называется литражом двигателя. Двигатель «два литра» имеет суммарный объем всех цилиндров 2000 см³.

Существует ли цилиндр, у которого объем численно равен площади поверхности?

Да, при определенных размерах. Условие: $\pi r^2h = 2\pi r(h + r)$. Упрощая: $rh = 2(h + r)$, $rh = 2h + 2r$, $rh - 2h = 2r$, $h(r - 2) = 2r$, $h = \frac{2r}{r - 2}$. При $r = 3$ см получаем $h = 6$ см. Проверка: $V = 3{,}14 \cdot 9 \cdot 6 = 169{,}56$; $S = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \cdot 9 = 169{,}56$. Численно равны (но разные размерности).

Как точно измерить объем цилиндрического сосуда?

Существует несколько методов: 1) Геометрический: измерить внутренний диаметр и высоту, вычислить по формуле. 2) Весовой: взвесить пустой сосуд, заполнить водой, взвесить снова. Разница масс в граммах равна объему в миллилитрах (для воды). 3) Калибровочный: заполнить известными объемами из мерной посуды. Весовой метод наиболее точен для практических целей.

Почему в формуле объема цилиндра используется π?

Число π (пи) появляется в формуле потому, что основание цилиндра — круг, а площадь круга $S = \pi r^2$. Число π — это отношение длины окружности к ее диаметру, фундаментальная математическая константа, равная приблизительно 3,14159. Везде, где в геометрии встречаются круги или окружности, неизбежно появляется π. Объем цилиндра — это площадь круглого основания, умноженная на высоту, отсюда π в формуле.