Объем куба

Объем куба равен длине ребра в кубе: $V = a^3$. Калькулятор находит объем куба по длине ребра, диагонали грани или диагонали куба – достаточно одной величины.

Формула объема куба

где $a$ – длина ребра. Куб с ребром 3 см имеет объем $3^3 = 27\ \text{см}^3$.

Объем куба через диагональ

Диагональ грани $d = a\sqrt{2}$, диагональ куба $D = a\sqrt{3}$. Отсюда ребро и объем:

Например, если диагональ куба 5,196 см, ребро $5{,}196 : 1{,}732 = 3$ см, объем – 27 см³.

Как найти объем куба: примеры

• Ребро 10 см: $V = 1\,000\ \text{см}^3$ – ровно 1 литр.
• Ребро 1 м: $V = 1\ \text{м}^3$ – 1 000 литров.
• Ребро по объему: если объем куба 64 см³, ребро $a = \sqrt[3]{64} = 4$ см.

Таблица объема куба

Если ребро увеличить вдвое, объем куба вырастет в 8 раз. Площадь поверхности куба считает калькулятор площади куба, объем прямоугольной коробки – калькулятор объема параллелепипеда.

Типовые задачи ЕГЭ

• Диагональ куба равна √12. Найдите его объем.
  Ребро равно $\sqrt{12} : \sqrt{3} = 2$, значит объем равен $2^3 = 8$. Ответ: 8.
• Куб вписан в шар радиуса 4,5√3. Найдите объем куба.
  Диагональ куба равна диаметру шара: $d = 9\sqrt{3}$. Тогда ребро $a = 9$, а объем $9^3 = 729$. Ответ: 729.
• Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
  Ребро $a = \sqrt[3]{8} = 2$, площадь $6 \cdot 4 = 24$. Ответ: 24.
• Объем куба равен 24√3. Найдите его диагональ.
  Ребро равно $2\sqrt{3}$, так как $(2\sqrt{3})^3 = 24\sqrt{3}$. Диагональ: $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$. Ответ: 6.
• Если каждое ребро увеличить на 1, объем увеличится на 19. Найдите ребро.
  Составляем уравнение $(a+1)^3 - a^3 = 19$, раскрываем: $3a^2 + 3a + 1 = 19$, откуда $a = 2$. Ответ: 2.
• Объем куба равен 80. Плоскость проходит через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельна третьему. Найдите объем отсеченной призмы.
  Отсекается треугольная призма с основанием в четверть грани и полной длиной ребра, ее объем составляет $\tfrac{1}{8}$ объема куба: $80 : 8 = 10$. Ответ: 10.

Частые ошибки в расчетах

• Возводят ребро в квадрат вместо куба. $a^2$ – это площадь грани, а объем равен $a^3$.
• Путают диагональ куба и диагональ грани. Первая равна $a\sqrt{3}$, вторая – $a\sqrt{2}$.
• Смешивают кубические и квадратные единицы. Объем измеряется в см³ и м³, площадь – в см² и м².
• Неверно переводят единицы. В одном кубическом метре не 100, а миллион кубических сантиметров.