Объем конуса

Объем конуса — это количественная мера трехмерного пространства, заключенного внутри конической поверхности. Объем показывает, сколько вещества (твердого, жидкого или газообразного) может поместиться внутри конуса, и измеряется в кубических единицах длины. Конус представляет собой тело вращения, образованное прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из своих катетов. Эта геометрическая форма обладает уникальным свойством: объем конуса составляет ровно одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой.

Калькулятор объема конуса — это инструмент для вычисления объема конического тела по радиусу основания и высоте, применяя формулу $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$, где объем конуса составляет ровно одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой. Калькулятор автоматически выполняет все необходимые операции, включая возведение радиуса в квадрат, умножение на высоту и число π, а затем деление результата на три, что гарантирует точность вычислений и экономит время пользователя. Возможность ввода данных через диаметр вместо радиуса или расчета через образующую (с автоматическим вычислением высоты по теореме Пифагора) делает калькулятор универсальным инструментом для различных практических задач, а автоматическое преобразование результата в литры особенно полезно при работе с емкостями для жидкостей.

Формулы для вычисления объема конуса

Объем конуса через радиус и высоту

Это основная и наиболее важная формула для вычисления объема конуса. Если известны радиус основания и высота, объем вычисляется по формуле:

где $V$ — объем конуса, $r$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

Объяснение: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поскольку площадь основания (круга) равна $\pi r^2$, объем составляет $\frac{1}{3}\pi r^2h$. Коэффициент $\frac{1}{3}$ отличает конус от цилиндра — объем конуса в три раза меньше объема цилиндра с тем же основанием и высотой.

Историческая справка: Эта формула была строго доказана Евдоксом Книдским (около 408–355 гг. до н.э.) методом исчерпывания, а затем Архимедом, который показал соотношение объемов конуса, шара и цилиндра.

Объем конуса через диаметр и высоту

Если известен диаметр основания вместо радиуса, формула принимает вид:

где $d$ — диаметр основания конуса ($d = 2r$).

Вывод формулы: Поскольку радиус равен половине диаметра $r = \frac{d}{2}$, подставляем в основную формулу:

Объем конуса через площадь основания и высоту

Если известна площадь основания, объем вычисляется по универсальной формуле для всех конусов и пирамид:

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота.

Связь с основной формулой: Для круглого основания $S_{\text{осн}} = \pi r^2$, поэтому $V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$. Эта формула показывает общий принцип: объем любого конуса или пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объем конуса через радиус и образующую

Если известны радиус основания и образующая, сначала находим высоту по теореме Пифагора:

Затем подставляем в формулу объема:

где $l$ — длина образующей конуса.

Условие существования: Образующая должна быть больше радиуса ($l > r$), иначе конус не существует. Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник: $l^2 = r^2 + h^2$.

Связь между параметрами конуса

Основные параметры конуса связаны следующими соотношениями:

• Теорема Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$
• Высота через радиус и образующую: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$
• Радиус через высоту и образующую: $r = \sqrt{l^2 - h^2}$
• Образующая через радиус и высоту: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$
• Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Объем усеченного конуса

Усеченный конус — это часть конуса между двумя параллельными сечениями. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

где $r_1$ и $r_2$ — радиусы нижнего и верхнего оснований, $h$ — высота усеченного конуса.

Примеры вычисления объема конуса

• Задача: Найти объем конуса с радиусом основания 6 см и высотой 8 см.
  Решение: Используем формулу $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставляем значения: $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 36 \cdot 8 = \frac{904{,}32}{3} = 301{,}44$ см³. Ответ: 301,44 см³.
• Задача: Конус имеет диаметр основания 10 см и высоту 12 см. Найдите объем.
  Решение: Применяем формулу $V = \frac{1}{12}\pi d^2 h$: $V = \frac{3{,}14 \cdot 10^2 \cdot 12}{12} = \frac{3{,}14 \cdot 100 \cdot 12}{12} = 314$ см³. Ответ: 314 см³.
• Задача: Площадь основания конуса 50,24 см², высота 9 см. Найдите объем.
  Решение:$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 50{,}24 \cdot 9 = \frac{452{,}16}{3} = 150{,}72$ см³. Ответ: 150,72 см³.
• Задача: Коническая куча песка имеет высоту 3 м и радиус основания 5 м. Сколько кубометров песка в куче?
  Решение:$V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 3 = \frac{235{,}5}{3} = 78{,}5$ м³. Ответ: 78,5 м³.
• Задача: Конус имеет радиус основания 5 см и образующую 13 см. Найдите объем.
  Решение: Сначала находим высоту: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. Объем: $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 12 = \frac{942}{3} = 314$ см³. Ответ: 314 см³.
• Задача: Радиус конуса увеличили в 2 раза, а высоту оставили прежней. Во сколько раз увеличился объем?
  Решение: Исходный объем $V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Новый объем $V_2 = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 4r^2 \cdot h = 4V_1$. Ответ: объем увеличился в 4 раза.
• Задача: Бункер для зерна имеет форму конуса с радиусом 4 м и высотой 8 м. Сколько тонн зерна он вмещает, если плотность зерна 750 кг/м³?
  Решение: Объем: $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 16 \cdot 8 = \frac{401{,}92}{3} = 133{,}97$ м³. Масса: $m = 133{,}97 \cdot 750 = 100478$ кг ≈ 100,5 тонн. Ответ: около 100,5 тонн.
• Задача: Вафельный рожок имеет высоту 12 см и диаметр верха 6 см. Сколько миллилитров мороженого он вмещает?
  Решение: Радиус 3 см. Объем: $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 9 \cdot 12 = \frac{339{,}12}{3} = 113{,}04$ см³ = 113 мл. Ответ: около 113 мл.
• Задача: Конический резервуар заполнен водой на 2/3 высоты. Какая доля объема заполнена?
  Решение: Объем части конуса высотой $\frac{2h}{3}$ с радиусом основания $\frac{2r}{3}$ (подобие): $V_{\text{части}} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2r}{3}\right)^2 \cdot \frac{2h}{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4r^2}{9} \cdot \frac{2h}{3} = \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{8}{27}V$. Ответ: заполнено 8/27 ≈ 29,6% объема.
• Задача: Объем конуса 628 см³, высота 12 см. Найдите радиус основания.
  Решение: Из формулы $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ выражаем радиус: $r^2 = \frac{3V}{\pi h} = \frac{3 \cdot 628}{3{,}14 \cdot 12} = \frac{1884}{37{,}68} = 50$, откуда $r = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ см. Ответ: около 7,07 см.

Таблица значений объема конуса

Таблица с готовыми значениями объема конуса для различных размеров. Таблица существенно упростит расчеты и поможет быстро найти нужное значение для типовых размеров конусов.

Анализируя таблицу, можно заметить важные закономерности. При увеличении радиуса в $k$ раз (при неизменной высоте) объем увеличивается в $k^2$ раз, так как в формуле радиус входит во второй степени. При увеличении высоты в $k$ раз (при неизменном радиусе) объем также увеличивается в $k$ раз — линейная зависимость. При пропорциональном увеличении всех линейных размеров в $k$ раз объем увеличивается в $k^3$ раз — кубическая зависимость, характерная для всех трехмерных тел.

История изучения объема конуса

Вопрос о вычислении объема конуса волновал математиков с глубокой древности. Понимание объема конических тел было необходимо для практических нужд: строительства, земледелия, торговли, военного дела. Древние цивилизации умели приблизительно оценивать объем конических куч зерна и других материалов, но точные формулы появились значительно позже.

Древние египтяне использовали эмпирические правила для вычисления объемов различных тел, включая конусы. В папирусе Ахмеса (около 1650 г. до н.э.) содержатся задачи на вычисление объемов, хотя формулы не всегда точны. Египтяне понимали, что объем конуса меньше объема цилиндра с тем же основанием, но точное соотношение 1:3 им не было известно.

Вавилонские математики также занимались вычислением объемов. Клинописные таблички содержат задачи о вычислении объемов конических куч земли при строительстве каналов и насыпей. Они использовали приближенные методы, достаточно точные для практических целей.

Прорыв в изучении объема конуса произошел в Древней Греции. Демокрит из Абдеры (около 460–370 гг. до н.э.) первым высказал гипотезу, что объем конуса составляет одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой. Он пришел к этому выводу, рассматривая конус как бесконечную стопку бесконечно тонких кругов уменьшающегося радиуса. Этот подход предвосхитил идеи интегрального исчисления.

Строгое доказательство формулы объема конуса дал Евдокс Книдский (около 408–355 гг. до н.э.), ученик Платона. Он разработал метод исчерпывания — предшественник современного метода пределов. Евдокс доказал, что отношение объемов конуса и цилиндра с одинаковыми основаниями и высотами равно 1:3. Его доказательство было строгим в рамках античной математики и удовлетворяло требованиям логической последовательности.

Евклид в «Началах» (около 300 г. до н.э.) включил результаты Евдокса в двенадцатую книгу, посвященную стереометрии. Он сформулировал теорему: объемы конусов и цилиндров с равными основаниями относятся как их высоты, а объем конуса составляет одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой.

Архимед Сиракузский (287–212 гг. до н.э.) внес огромный вклад в изучение объемов. В трактате «О методе» он описал свой подход к открытию формул объемов, используя принцип рычага и идею равновесия. Архимед показал соотношения между объемами конуса, полушария и цилиндра. Он доказал, что если взять цилиндр, вписать в него полушарие и конус (с вершиной в центре верхнего основания цилиндра), то объемы конуса, полушария и цилиндра относятся как 1:2:3.

В средневековой арабской науке математики продолжили изучение объемов тел вращения. Ибн аль-Хайсам (965–1040) в своих трудах рассматривал объемы конусов и параболоидов вращения. Он использовал методы, близкие к интегрированию, для вычисления объемов тел, образованных вращением кривых.

В эпоху Возрождения интерес к вычислению объемов возрос в связи с практическими задачами. Иоганн Кеплер (1571–1630) в работе «Новая стереометрия винных бочек» (1615) разработал методы вычисления объемов тел вращения, включая конические и эллипсоидальные формы. Его подход основывался на разбиении тела на бесконечно малые элементы.

Революцию в вычислении объемов произвело создание математического анализа в XVII веке. Исаак Ньютон (1643–1727) и Готфрид Лейбниц (1646–1716) разработали методы дифференциального и интегрального исчисления, позволяющие строго выводить формулы для объемов любых тел вращения. Объем конуса можно вычислить, интегрируя площади круговых сечений:

В XVIII–XIX веках формула объема конуса стала стандартной частью курса математики. Леонард Эйлер (1707–1783), Гаспар Монж (1746–1818) и другие математики развили геометрию поверхностей и тел вращения, обобщив понятие объема на более сложные случаи.

В XX веке теория меры позволила строго определить понятие объема для множеств произвольной формы. Мера Лебега обобщила классическое понятие объема, а формула объема конуса стала частным случаем общей теории интегрирования.

Интересные факты об объеме конуса

• Конические кучи зерна. Зерно, высыпанное свободно, образует конус с углом естественного откоса около 30–35° для пшеницы и 35–40° для ржи. Куча пшеницы высотой 4 метра имеет радиус основания около 7,5 метра и объем около 235 м³, что составляет примерно 180 тонн зерна при плотности 750–800 кг/м³. В сельском хозяйстве объем зерновых куч рассчитывается для учета урожая, планирования хранилищ и логистики.
• Земляные работы. При рытье котлованов под фундаменты столбов линий электропередачи или опор мостов образуются конические углубления. Типичный котлован для опоры ЛЭП имеет глубину 3–4 метра и диаметр верха 2–3 метра. Объем вынимаемого грунта составляет 3–8 м³. Точный расчет важен для определения стоимости работ и вывоза грунта. При обратной засыпке грунт уплотняется, его объем уменьшается на 10–20%.
• Вафельные рожки. Стандартный вафельный рожок для мороженого высотой 12 см и диаметром верха 6 см имеет объем около 113 мл. Производители мороженого тщательно рассчитывают объем рожка, чтобы обеспечить оптимальное соотношение вафли и мороженого. Конусообразная форма позволяет мороженому равномерно таять и не вытекать, а также удобна для держания в руке. Мировой рынок вафельных рожков превышает 10 миллиардов штук в год.
• Дорожные конусы. Хотя дорожные конусы полые внутри, их внешняя форма близка к конусу. Стандартный конус высотой 70 см с диаметром основания 36 см имел бы объем около 23,7 литра, если бы был заполненным. На практике конусы изготавливают из пластика с толщиной стенок 3–5 мм и весят 2–4 кг. Для устойчивости основание утяжеляют резиновой прокладкой.
• Вулканические конусы. Многие вулканы имеют коническую форму. Вулкан Попокатепетль в Мексике представляет собой почти правильный конус высотой около 5400 метров с диаметром основания около 25 километров. Если приблизить его правильным конусом, объем составит примерно 880 кубических километров! Реально объем может быть меньше из-за кратера и неровностей. Вулканический конус формируется послойным наслоением лавы и пепла при извержениях.
• Промышленные бункеры. Конические бункеры для хранения сыпучих материалов имеют типичную высоту 8–15 метров и диаметр основания 6–12 метров. Объем такого бункера составляет 300–1800 м³. Например, бункер для цемента высотой 12 м и радиусом 6 м вмещает около 450 м³ или 600–700 тонн цемента. Угол наклона стенок конуса должен превышать угол естественного откоса материала на 10–15° для обеспечения самотечной разгрузки.
• Конические елки. Искусственная новогодняя елка высотой 2 метра с диаметром основания 1,2 метра имеет объем около 750 литров (0,75 м³), если рассматривать ее как сплошной конус. Реально объем хвои составляет 10–15% от этого значения (75–110 литров), остальное — воздух. Коническая форма ели в природе помогает дереву выдерживать снеговую нагрузку — снег соскальзывает с наклонных ветвей.
• Конические ферментеры. В пивоварении используются конические ферментационные танки объемом от 1000 до 50000 литров. Типичный танк высотой 4 метра и диаметром верха 2,5 метра имеет объем около 6500 литров. Коническое дно с углом 60–70° обеспечивает сбор дрожжевого осадка в нижней точке и его удаление без остановки ферментации. Точный расчет объема критичен для дозирования сырья и планирования производства.
• Песчаные дюны. Некоторые типы дюн имеют коническую форму. Бархан — серповидная дюна — может быть приближен усеченным конусом высотой 5–15 метров и диаметром основания 20–100 метров. Объем песка в крупном бархане может достигать 5000–50000 м³, что составляет 8000–80000 тонн при плотности песка 1,6 т/м³. Дюны мигрируют со скоростью 5–30 метров в год под действием ветра.
• Конические шатры. Традиционные шатры типи индейцев Великих равнин имеют коническую форму высотой 4–6 метров и диаметром основания 4–5 метров. Внутренний объем составляет 20–40 м³, чего достаточно для размещения семьи из 6–10 человек и очага. Дым выходит через отверстие в вершине конуса, которое можно регулировать клапанами в зависимости от направления ветра.
• Мегафоны и рупоры. Конический мегафон работает за счет направленного распространения звуковых волн. Рупор длиной 40 см с диаметром раструба 25 см имеет внутренний объем около 2 литров. Хотя объем и не является основным параметром для акустики, форма конуса обеспечивает согласование импеданса между источником звука и окружающим воздухом, увеличивая громкость на 10–20 дБ.
• Мерные конусы. В лабораторной практике используются конические мерные сосуды (конические колбы Эрленмейера — хотя они имеют коническую форму лишь частично). Коническая форма облегчает перемешивание жидкостей круговыми движениями без расплескивания. Объем таких колб стандартизирован: 50, 100, 250, 500, 1000 мл.

Вопросы и ответы

Что такое объем конуса?

Объем конуса — это количественная мера трехмерного пространства, заключенного внутри конической поверхности. Измеряется в кубических единицах (см³, м³, литрах). Основная формула: $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота. Объем конуса в три раза меньше объема цилиндра с тем же основанием и высотой.

Как найти объем конуса?

Объем вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$. Нужно возвести радиус в квадрат, умножить на высоту, на число π (≈3,14) и разделить на 3. Например, при радиусе 6 см и высоте 8 см: $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 36 \cdot 8 = 301{,}44$ см³. Если известен диаметр вместо радиуса: $V = \frac{\pi d^2h}{12}$.

Почему объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра?

Это фундаментальное геометрическое соотношение, доказанное Евдоксом и Архимедом. Если взять цилиндр и конус с одинаковым основанием и высотой, конус «заполняет» ровно треть объема цилиндра. Это можно продемонстрировать экспериментально: наполнить конус водой и перелить в цилиндр — потребуется ровно три конуса. Математически это доказывается методом интегрирования или методом исчерпывания.

Как найти объем конуса через площадь основания?

Используется формула $V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания (круга), $h$ — высота. Например, если площадь основания 50,24 см² и высота 9 см: $V = \frac{50{,}24 \cdot 9}{3} = 150{,}72$ см³. Эта формула универсальна для всех пирамид и конусов.

Как изменится объем конуса при увеличении радиуса вдвое?

При увеличении только радиуса в 2 раза (при неизменной высоте) объем увеличится в 4 раза, так как радиус входит в формулу во второй степени: $V_2 = \frac{1}{3}\pi(2r)^2h = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2h = 4V_1$. При увеличении в 2 раза и радиуса, и высоты (подобное увеличение) объем возрастет в 8 раз (2³ = 8).

Можно ли найти размеры конуса, зная только объем?

Нет, зная только объем, нельзя однозначно определить размеры конуса. Формула $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$ содержит два неизвестных ($r$ и $h$), и существует бесконечно много их комбинаций, дающих одинаковый объем. Например, объем 314 см³ могут иметь конусы с параметрами: $r=5, h=12$ или $r=10, h=3$ см и множество других вариантов.

Как найти высоту конуса, зная объем и радиус?

Из формулы $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$ выражаем высоту: $h = \frac{3V}{\pi r^2}$. Например, если объем 628 см³ и радиус 5 см: $h = \frac{3 \cdot 628}{3{,}14 \cdot 25} = \frac{1884}{78{,}5} = 24$ см. Аналогично можно найти радиус: $r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$.

Как вычислить объем конуса, зная радиус и образующую?

Сначала находим высоту по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$, затем вычисляем объем: $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$. Например, при $r=5$ см и $l=13$ см: $h = \sqrt{169-25} = 12$ см, $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 12 = 314$ см³. Условие: образующая должна быть больше радиуса.

Чему равен объем усеченного конуса?

Усеченный конус (frustum) — часть конуса между двумя параллельными сечениями. Формула объема: $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)$, где $r_1, r_2$ — радиусы нижнего и верхнего оснований, $h$ — высота. Например, при $r_1=10$ см, $r_2=5$ см, $h=12$ см: $V = \frac{3{,}14 \cdot 12 \cdot (100+50+25)}{3} = 2198$ см³.

Как перевести объем конуса из кубических сантиметров в литры?

1 литр = 1000 см³ = 1 дм³. Чтобы перевести см³ в литры, делим на 1000. Например, 6000 см³ = 6 литров. Обратно: литры умножаем на 1000 для получения см³. Также: 1 м³ = 1000 литров. Например, конус объемом 0,5 м³ вмещает 500 литров жидкости.

Сколько весит материал в коническом бункере?

Масса вычисляется как произведение объема на плотность: $m = \rho V$. Сначала находим объем конуса $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$, затем умножаем на плотность материала. Например, бункер с зерном ($r=4$ м, $h=8$ м) имеет объем 134 м³. При плотности зерна 750 кг/м³ масса составит $750 \cdot 134 = 100500$ кг ≈ 100,5 тонн.

Какая часть объема конуса заполнена при заполнении на половину высоты?

При заполнении конуса жидкостью на половину высоты объем заполненной части составляет не 1/2, а 1/8 от полного объема! Это следует из подобия: малый конус высотой $h/2$ имеет радиус $r/2$, поэтому его объем $V = \frac{1}{3}\pi(r/2)^2(h/2) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}\pi r^2h$. При заполнении на 2/3 высоты — заполнено 8/27 ≈ 29,6% объема.

Как объем конуса используется в сельском хозяйстве?

В сельском хозяйстве объем конуса применяется для: 1) учета зерна в конических кучах (бунтах); 2) расчета вместимости силосных башен с коническим дном; 3) определения объема конических штабелей сена, соломы; 4) проектирования бункеров для кормов и удобрений; 5) расчета объема конических резервуаров. Измеряя высоту и диаметр кучи, агрономы быстро оценивают массу урожая.

Почему сыпучие материалы образуют конусы?

При свободном высыпании сыпучие материалы образуют конус с углом естественного откоса — максимальным углом, при котором материал остается стабильным без осыпания. Для песка это 30–35°, для зерна 30–40°, для угля 35–45°. Угол зависит от формы, размера частиц, влажности, шероховатости. Коническая форма соответствует состоянию минимальной потенциальной энергии.

Как рассчитать объем воронки?

Воронка обычно представляет собой усеченный конус. Измеряем радиусы верхнего ($r_1$) и нижнего ($r_2$) отверстий и высоту ($h$). Объем: $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)$. Для простой конической воронки с верхним радиусом 8 см, нижним 1 см, высотой 10 см: $V = \frac{3{,}14 \cdot 10 \cdot (64+8+1)}{3} \approx 764$ см³.

Существует ли конус, у которого объем численно равен площади поверхности?

Да, при определенных пропорциях. Условие: $\frac{1}{3}\pi r^2h = \pi r(r+l)$, где $l = \sqrt{r^2+h^2}$. Упрощая, получаем связь между $r$ и $h$. Например, конус с $r \approx 5{,}4$ см и $h \approx 7{,}2$ см имеет объем и площадь поверхности, численно близкие (при разных размерностях: см³ и см²).

Как объем конуса связан с объемом пирамиды?

Объем любой пирамиды вычисляется по той же формуле: $V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$. Конус можно рассматривать как предельный случай пирамиды с бесконечным числом граней в основании. Для квадратной пирамиды со стороной основания $a$: $V = \frac{1}{3}a^2h$. Для конуса основание — круг, для пирамиды — многоугольник.

Сколько земли нужно вынуть для конического котлована?

Объем вынимаемого грунта равен объему конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$. Например, для котлована глубиной 2 м и радиусом верха 3 м объем $V = \frac{3{,}14 \cdot 9 \cdot 2}{3} = 18{,}84$ м³. Грунт в разрыхленном состоянии занимает на 20–30% больший объем, поэтому для вывоза потребуется около 23–24 м³ транспорта. При обратной засыпке с уплотнением объем уменьшается.

Как объем конуса используется в промышленности?

В промышленности объем конуса применяется для: 1) проектирования бункеров и силосов для сыпучих материалов; 2) расчета вместимости конических резервуаров и емкостей; 3) определения объема конических деталей при литье и механообработке; 4) расчета объема конических отстойников и сепараторов; 5) планирования загрузки материалов и производительности оборудования.

Почему бункеры для сыпучих материалов имеют коническое дно?

Коническое дно обеспечивает: 1) самотечную разгрузку — материал ссыпается к выходному отверстию под действием силы тяжести; 2) отсутствие застойных зон и сводообразования; 3) полное опорожнение бункера; 4) равномерную подачу материала; 5) возможность регулирования расхода шиберными затворами. Угол наклона стенок конуса должен быть больше угла естественного откоса материала на 10–15° для надежной разгрузки.

Как рассчитать объем конической крыши?

Конические крыши обычно полые внутри, поэтому рассчитывают объем материала (толщина умножается на площадь поверхности) или объем чердачного пространства (как объем конуса). Для чердака высотой 6 м и радиусом 8 м объем $V = \frac{3{,}14 \cdot 64 \cdot 6}{3} = 401{,}92$ м³. Это полезное пространство, которое можно использовать или учитывать при расчете вентиляции.

Какой конус имеет максимальный объем при заданной образующей?

При фиксированной образующей $l$ максимальный объем имеет конус, у которого высота и радиус связаны соотношением $h = l\sqrt{\frac{2}{3}}$, $r = l\sqrt{\frac{1}{3}}$. Это можно доказать методами математического анализа (производная объема по радиусу при ограничении $l^2 = r^2 + h^2$). Такой конус имеет отношение высоты к радиусу $h:r = \sqrt{2}:1$.

Как объем конуса используется в строительстве?

В строительстве объем конуса применяется для: 1) расчета объема котлованов под опоры и фундаменты; 2) определения объема конических насыпей и отвалов грунта; 3) расчета объема бетонирования конических элементов; 4) планирования объемов земляных работ; 5) расчета вместимости конических резервуаров для воды; 6) определения объема чердачных помещений под коническими крышами.

Сколько бетона нужно для заливки конического фундамента?

Объем бетона равен объему конуса (или усеченного конуса для столбчатого фундамента). Например, для основания опоры ЛЭП в виде усеченного конуса высотой 2 м, нижним диаметром 2 м (радиус 1 м) и верхним диаметром 0,6 м (радиус 0,3 м): $V = \frac{3{,}14 \cdot 2 \cdot (1 + 0{,}3 + 0{,}09)}{3} = 2{,}91$ м³. С учетом 5–10% запаса потребуется около 3–3,2 м³ бетона.