Объем конуса

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Калькулятор находит объем конуса по радиусу или диаметру основания и высоте, а если высота неизвестна – по образующей.

Формула объема конуса

где $r$ – радиус основания, $h$ – высота конуса, $\pi \approx 3{,}14$. Объем конуса ровно в 3 раза меньше объема цилиндра с тем же основанием и высотой.

Объем конуса через диаметр

Объем конуса через образующую

Образующая $l$, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник, поэтому высоту находят по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$, а затем подставляют в формулу объема конуса.

Как найти объем конуса: примеры

• Радиус 3 см, высота 4 см. $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 9 \cdot 4 = 37{,}68\ \text{см}^3$.
• Радиус 5 см, образующая 13 см. Высота $h = \sqrt{169 - 25} = 12$ см, объем конуса $\frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 12 = 314\ \text{см}^3$.
• Куча песка диаметром 4 м и высотой 1,5 м: $V = 3{,}14 \cdot 16 \cdot 1{,}5 : 12 = 6{,}28\ \text{м}^3$.

Таблица объема конуса

Почему объем конуса втрое меньше объема цилиндра

Возьмите цилиндр и конус с одинаковым основанием и одинаковой высотой. Объем цилиндра равен $\pi r^2 h$, объем конуса – ровно треть этого значения. Цилиндр радиусом 2 см и высотой 5 см вмещает 62,8 см³, а конус тех же размеров – 20,93 см³.

Отсюда и множитель 1/3 в формуле: три конуса заполняют цилиндр целиком. То же соотношение связывает пирамиду с призмой, у которых общие основание и высота.

Единицы измерения объема конуса

Объем конуса получается в кубе той единицы, в которой введены радиус и высота: сантиметры дают см³, метры – м³. Чтобы сразу получить результат в кубических метрах, выберите в калькуляторе метры.

Соотношения для перевода: 1 м³ = 1 000 000 см³ = 1000 литров, 1 литр = 1000 см³, 1 см³ = 1 мл.

Объем усеченного конуса

У усеченного конуса два основания – с радиусами $R$ и $r$. Его объем:

Так считают объем ведра, стакана или абажура. Площадь поверхности конуса считает калькулятор площади конуса.

Ошибки при расчете объема конуса

• Забыть множитель 1/3. Без него получится объем цилиндра – результат окажется втрое больше настоящего.
• Подставить образующую вместо высоты. Образующая всегда длиннее высоты; чтобы получить высоту, вычтите из квадрата образующей квадрат радиуса и возьмите корень.
• Подставить диаметр вместо радиуса. Радиус входит в квадрате, поэтому объем конуса окажется больше в 4 раза.
• Смешать единицы. Радиус в сантиметрах и высота в метрах дадут бессмысленное значение.