Площадь поверхности цилиндра

Площадь цилиндра складывается из боковой поверхности и двух оснований: $S = 2\pi r h + 2\pi r^2$. Калькулятор находит площадь боковой поверхности цилиндра, площадь основания и площадь полной поверхности по радиусу или диаметру основания и высоте.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Если разрезать боковую поверхность цилиндра по высоте и развернуть, получится прямоугольник: одна сторона – высота $h$, другая – длина окружности основания $2\pi r$. Поэтому:

Площадь полной поверхности цилиндра

К боковой поверхности прибавляют площадь двух оснований – двух кругов радиусом $r$:

Площадь одного основания цилиндра – $S_{\text{осн}} = \pi r^2$, ее же находит калькулятор площади круга.

Как найти площадь цилиндра: пример

Цилиндр с радиусом основания 3 см и высотой 5 см:

• боковая поверхность: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \cdot 5 = 94{,}2\ \text{см}^2$;
• площадь основания: $3{,}14 \cdot 3^2 = 28{,}26\ \text{см}^2$;
• полная поверхность: $94{,}2 + 2 \cdot 28{,}26 = 150{,}72\ \text{см}^2$.

Площадь боковой поверхности нужна, чтобы посчитать краску или утеплитель для трубы и бака без торцов, полная – если покрывают и дно, и крышку.

Таблица площади цилиндра

Как найти высоту или радиус цилиндра по площади

Из формулы боковой поверхности высота $h = S_{\text{бок}} / (2\pi r)$: при боковой поверхности 94,2 см² и радиусе 3 см высота цилиндра равна 94,2 : 18,84 = 5 см. Объем цилиндра считает калькулятор объема цилиндра.

Типовые задачи ЕГЭ с цилиндром

Шар, вписанный в цилиндр

Радиус цилиндра совпадает с радиусом шара, а высота равна диаметру. Отсюда боковая поверхность цилиндра равна поверхности шара, а полная больше в полтора раза:

• Полная поверхность цилиндра равна 30. Найдите поверхность шара.
  $30 \cdot \tfrac{2}{3} = 20$. Ответ: 20.

Площадь осевого сечения цилиндра

Осевое сечение – это прямоугольник, проходящий через ось. Его стороны равны диаметру основания и высоте, поэтому площадь считается так:

При $r = 5$ см и $h = 8$ см сечение равно $10 \cdot 8 = 80$ см². Если осевое сечение – квадрат, то высота равна диаметру: $h = 2r$.

Частые ошибки при расчете площади цилиндра

• Забывают про второе основание. В полную поверхность круги входят дважды, поэтому в формуле стоит $2\pi r^2$, а не $\pi r^2$.
• Путают радиус с диаметром. Если подставить диаметр вместо радиуса, боковая поверхность окажется вдвое больше нужной.
• Считают полную поверхность там, где нужна боковая. У открытых емкостей – бочек, стаканов, труб – основания либо отсутствуют, либо учитывается только одно.
• Не согласуют единицы. Радиус в сантиметрах и высота в метрах в одной формуле дадут неверный ответ.