Площадь круга

Площадь круга — это количественная мера плоской поверхности, ограниченной окружностью. Площадь показывает, сколько квадратных единиц помещается внутри круга, и измеряется в квадратных единицах длины (см², м², км²). Круг является одной из самых совершенных и симметричных геометрических фигур, обладающей уникальным свойством: среди всех плоских фигур с заданным периметром круг имеет максимальную площадь. Это делает круг чрезвычайно эффективной формой в природе и технике.

Понятие площади круга имеет фундаментальное значение в математике, физике, инженерии и повседневной жизни. Круглые формы окружают нас повсюду: колеса и диски, тарелки и крышки, монеты и кнопки, трубы и цистерны, циферблаты часов и спутниковые антенны, пиццы и торты, солнце и луна. Расчет площади круга необходим при проектировании механизмов, определении площади земельных участков круглой формы, вычислении площади поперечного сечения труб и проводов, расчете количества материала для круглых изделий.

Калькулятор площади круга — это удобный онлайн-инструмент для быстрого и точного вычисления площади круглой поверхности по радиусу, диаметру или длине окружности. Калькулятор автоматически применяет классическую формулу $S = \pi r^2$, где π ≈ 3,14159, избавляя пользователя от необходимости вручную возводить радиус в квадрат и умножать на число пи. Использование калькулятора гарантирует высокую точность вычислений, исключает арифметические ошибки и экономит время.

Формулы для вычисления площади круга

Площадь круга через радиус

Это основная и наиболее важная формула для вычисления площади круга. Если известен радиус, площадь вычисляется по формуле:

где $S$ — площадь круга, $r$ — радиус круга, $\pi$ — математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Объяснение: Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Это означает, что при увеличении радиуса в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза (2² = 4), при увеличении в 3 раза — в 9 раз (3² = 9). Коэффициент пропорциональности равен числу π — одной из важнейших математических констант.

Число π (пи) — это отношение длины окружности к ее диаметру, одинаковое для всех окружностей. Точное значение π нельзя выразить конечной десятичной дробью, это иррациональное число: π ≈ 3,14159265358979... Для практических вычислений обычно используют π ≈ 3,14 или π ≈ 22/7.

Площадь круга через диаметр

Если известен диаметр круга вместо радиуса, формула принимает вид:

где $d$ — диаметр круга ($d = 2r$).

Вывод формулы: Поскольку радиус равен половине диаметра $r = \frac{d}{2}$, подставляем в основную формулу:

Эту формулу можно также записать как $S \approx 0{,}785d^2$, так как $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.

Площадь круга через длину окружности

Если известна длина окружности (периметр круга), площадь можно вычислить по формуле:

где $C$ — длина окружности.

Вывод формулы: Длина окружности связана с радиусом формулой $C = 2\pi r$, откуда $r = \frac{C}{2\pi}$. Подставляем в формулу площади:

Связь между параметрами круга

Основные параметры круга связаны следующими соотношениями:

• Диаметр и радиус: $d = 2r$, $r = \frac{d}{2}$
• Длина окружности через радиус: $C = 2\pi r$
• Длина окружности через диаметр: $C = \pi d$
• Радиус через длину окружности: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Площадь через радиус: $S = \pi r^2$
• Площадь через диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$
• Площадь через длину окружности: $S = \frac{C^2}{4\pi}$

Площадь кольца (круглого кольца)

Кольцо — это область между двумя концентрическими окружностями. Площадь кольца вычисляется как разность площадей большого и малого кругов:

где $R$ — внешний радиус, $r$ — внутренний радиус.

Формулу можно также записать через диаметры: $S = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4}$.

Площадь сектора круга

Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Площадь сектора с центральным углом $\alpha$ (в градусах):

Если угол дан в радианах, формула упрощается: $S = \frac{1}{2}r^2\alpha$.

Примеры вычисления площади круга

• Задача: Найти площадь круга с радиусом 5 см.
  Решение: Используем формулу $S = \pi r^2$. Подставляем значения: $S = 3{,}14 \cdot 5^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ см². Ответ: 78,5 см².
• Задача: Круглая тарелка имеет диаметр 24 см. Найдите ее площадь.
  Решение: Применяем формулу $S = \frac{\pi d^2}{4}$: $S = \frac{3{,}14 \cdot 24^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 576}{4} = \frac{1808{,}64}{4} = 452{,}16$ см². Ответ: 452,16 см².
• Задача: Длина окружности клумбы 31,4 м. Найдите площадь клумбы.
  Решение: Используем формулу $S = \frac{C^2}{4\pi}$: $S = \frac{31{,}4^2}{4 \cdot 3{,}14} = \frac{985{,}96}{12{,}56} = 78{,}5$ м². Или сначала находим радиус: $r = \frac{31{,}4}{2 \cdot 3{,}14} = 5$ м, затем $S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ м². Ответ: 78,5 м².
• Задача: Пицца имеет диаметр 30 см. Какова ее площадь?
  Решение: Радиус $r = 15$ см. Площадь: $S = 3{,}14 \cdot 15^2 = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5$ см². Ответ: 706,5 см².
• Задача: Радиус круга увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась площадь?
  Решение: Исходная площадь $S_1 = \pi r^2$. Новая площадь $S_2 = \pi(3r)^2 = 9\pi r^2 = 9S_1$. Ответ: площадь увеличилась в 9 раз.
• Задача: Круглый бассейн имеет диаметр 6 метров. Сколько квадратных метров пленки нужно для покрытия дна?
  Решение: $S = \frac{3{,}14 \cdot 36}{4} = \frac{113{,}04}{4} = 28{,}26$ м². С учетом запаса 10–15% потребуется около 31–33 м². Ответ: около 28,3 м² (с запасом 31–33 м²).
• Задача: Площадь круга 154 см². Найдите радиус.
  Решение: Из формулы $S = \pi r^2$ выражаем радиус: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{154}{3{,}14}} = \sqrt{49} = 7$ см. Ответ: 7 см.
• Задача: Найдите площадь кольца с внешним радиусом 10 см и внутренним радиусом 6 см.
  Решение: $S = \pi(R^2 - r^2) = 3{,}14 \cdot (100 - 36) = 3{,}14 \cdot 64 = 200{,}96$ см². Ответ: 200,96 см².
• Задача: Система кругового полива орошает круг радиусом 200 м. Какую площадь земли она орошает?
  Решение: $S = 3{,}14 \cdot 200^2 = 3{,}14 \cdot 40000 = 125600$ м² = 12,56 га. Ответ: 12,56 гектара.
• Задача: Торт диаметром 20 см разрезали на 8 равных частей. Какова площадь одного куска?
  Решение: Площадь торта: $S = \frac{3{,}14 \cdot 400}{4} = 314$ см². Площадь одного куска: $\frac{314}{8} = 39{,}25$ см². Ответ: 39,25 см².

Таблица значений площади круга

Таблица с готовыми значениями площади круга для различных радиусов и диаметров. Таблица существенно упростит расчеты и поможет быстро найти нужное значение для типовых размеров.

Анализируя таблицу, можно заметить важнейшую закономерность: площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. При увеличении радиуса в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза, при увеличении в 3 раза — в 9 раз, в 10 раз — в 100 раз. Например, круг радиусом 10 см имеет площадь 314 см², а круг радиусом 20 см — 1256 см², что ровно в 4 раза больше. Это квадратичная зависимость является фундаментальным свойством двумерных подобных фигур.

История изучения площади круга

Проблема вычисления площади круга — одна из древнейших задач математики. Круг встречается в природе (солнце, луна, зрачок глаза) и был освоен человеком с незапамятных времен (колесо, гончарный круг). Понимание того, как измерить площадь круга, развивалось на протяжении тысячелетий и тесно связано с открытием числа π.

Древние вавилоняне (около 1800 г. до н.э.) использовали приближенное значение для площади круга. В вавилонских клинописных табличках встречается значение π ≈ 3, что давало формулу $S = 3r^2$. Это приближение с ошибкой около 5% было достаточным для практических целей того времени: строительства, землемерия, астрономических расчетов.

Древние египтяне достигли более высокой точности. В папирусе Ахмеса (папирус Ринда, около 1650 г. до н.э.) содержится задача о вычислении площади круга диаметром 9 единиц. Египтяне использовали правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной 8/9 диаметра. Это дает $S = \left(\frac{8d}{9}\right)^2 = \frac{64d^2}{81} \approx 0{,}7901d^2$, что соответствует π ≈ 3,1605 — удивительно точное значение с ошибкой менее 1%!

В Древней Индии священный текст «Шатапатха-брахмана» (около 800 г. до н.э.) содержит геометрические построения, связанные с кругом. Индийские математики использовали различные приближения для π, включая $\sqrt{10} \approx 3{,}162$.

Прорыв в понимании площади круга произошел в Древней Греции. Антифон (V в. до н.э.) предложил метод вписанных многоугольников: удваивая число сторон вписанного многоугольника, можно приблизить площадь круга с любой точностью. Этот подход предвосхитил идею предела.

Архимед Сиракузский (287–212 гг. до н.э.) создал строгий метод вычисления площади круга. В трактате «Измерение круга» он доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу, а другой — длине окружности. Это дает $S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot C = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 2\pi r = \pi r^2$.

Архимед использовал метод исчерпывания, вписывая и описывая вокруг круга правильные многоугольники. Начав с шестиугольников и последовательно удваивая число сторон до 96, он получил границы для π: $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$, то есть 3,1408 < π < 3,1429. Это был триумф античной математики!

В средневековом Китае математики продолжили уточнение π. Цзу Чунчжи (429–500) вычислил π с точностью до семи десятичных знаков: π ≈ 355/113 ≈ 3,1415929, что оставалось рекордом на протяжении почти тысячи лет. Это приближение поразительно точно — ошибка менее 0,000009%!

В средневековой Европе математики переоткрывали достижения античности. Леонардо Пизанский (Фибоначчи, около 1170–1250) в «Книге абака» использовал значение π ≈ 3,141818. В эпоху Возрождения интерес к площади круга возрос в связи с практическими задачами навигации, артиллерии, архитектуры.

Революцию совершило создание математического анализа в XVII веке. Исаак Ньютон (1643–1727) и Готфрид Лейбниц (1646–1716) разработали методы интегрирования, позволяющие строго доказать формулу площади круга:

В 1706 году Уильям Джонс впервые использовал символ π для обозначения отношения длины окружности к диаметру. Леонард Эйлер (1707–1783) популяризировал этот символ, и с тех пор π стало стандартным обозначением.

В 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что π — иррациональное число, то есть не может быть выражено как отношение двух целых чисел. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что π — трансцендентное число, что окончательно решило проблему квадратуры круга: невозможно построить циркулем и линейкой квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

В XX–XXI веках с помощью компьютеров вычислено триллионы десятичных знаков π. В 2021 году был установлен рекорд — более 62 триллионов знаков после запятой! Эти вычисления не имеют практического значения (для инженерных расчетов достаточно 15–20 знаков), но демонстрируют возможности вычислительной техники.

Интересные факты о площади круга

• Площадь пиццы. Пицца диаметром 30 см имеет площадь около 707 см², а пицца диаметром 40 см — около 1257 см². Увеличение диаметра на 33% (с 30 до 40 см) дает увеличение площади на 78%! Две пиццы по 30 см имеют общую площадь 1414 см², что больше, чем одна пицца 40 см. Однако одна большая пицца обычно дешевле двух маленьких — это математика экономики. Диаметр пиццы в дюймах, возведенный в квадрат и умноженный на 0,5, дает приблизительную площадь в квадратных дюймах.
• Площадь, орошаемая круговыми системами. Центрально-осевые дождевальные установки создают идеально круглые зеленые поля в засушливых регионах. Система с радиусом действия 400 метров орошает площадь $\pi \cdot 400^2 \approx 502{,}7$ тысяч м² или около 50 гектаров. Эти круги видны из космоса и создают характерный узор в пустынных районах США, Саудовской Аравии, Ливии. Некоторые установки имеют радиус до 800 метров, орошая более 200 гектаров.
• Площадь зрачка. Зрачок человеческого глаза изменяется от 2 до 8 мм в диаметре в зависимости от освещенности. При ярком свете зрачок диаметром 2 мм имеет площадь около 3,14 мм², а в темноте при диаметре 8 мм — около 50 мм². Площадь увеличивается в 16 раз (отношение квадратов диаметров 8²/2² = 64/4 = 16), пропуская в 16 раз больше света. Это автоматическая регулировка экспозиции биологической «камеры».
• Видимая площадь Солнца и Луны. С Земли Солнце и Луна кажутся почти одинаковыми по размеру (угловой диаметр около 0,5°), поэтому их видимые площади также примерно равны. Солнце в 400 раз больше Луны по диаметру, но и в 400 раз дальше, поэтому угловые размеры совпадают. Площадь видимого диска Солнца (или Луны) на небесной сфере составляет около 0,2 квадратных градусов. Это удивительное совпадение делает возможными полные солнечные затмения.
• Площадь мишени для дартс. Стандартная мишень для дартс имеет диаметр 451 мм (17,75 дюйма) и площадь около 1597 см². Центр мишени («яблочко») имеет диаметр 12,7 мм и площадь всего 1,27 см² — это менее 0,08% от общей площади. Попадание в «яблочко» требует исключительной точности. Внешнее «яблочко» диаметром 31,8 мм имеет площадь около 7,9 см².
• Площадь CD и DVD. Стандартный компакт-диск имеет диаметр 120 мм, внешнюю площадь около 113 см² и отверстие диаметром 15 мм площадью 1,77 см². Полезная площадь составляет около 111 см². Данные записываются на спиральной дорожке длиной около 5,7 км! Плотность записи на CD — около 650 МБ на диске, на DVD — 4,7 ГБ благодаря меньшему размеру питов и более плотной спирали.
• Площадь центрального круга. На футбольном поле центральный круг имеет радиус 9,15 метра (10 ярдов) и площадь около 263 м². В начале матча и после каждого гола игроки противоположной команды не могут входить в этот круг до удара. Центральное пятно диаметром около 20 см, откуда выполняется начальный удар, имеет площадь около 314 см².
• Площадь кроны дерева. Крона взрослого дуба может достигать 20–25 метров в диаметре, занимая площадь 300–500 м². Эта площадь важна для фотосинтеза — дерево улавливает солнечный свет и производит кислород. Под кроной создается тень той же площади, что влияет на микроклимат и растительность внизу. При планировании городского озеленения учитывают площадь проекции кроны для расчета плотности посадки.
• Площадь колеса обозрения. Лондонский глаз (London Eye) имеет диаметр 120 метров и описывает круг площадью около 11300 м² или 1,13 гектара. За один оборот (30 минут) кабины проходят путь $C = \pi d = 377$ метров. Высочайшее колесо обозрения Ain Dubai имеет диаметр 250 метров и площадь круга около 49000 м² — почти 5 гектаров!
• Площадь линз микроскопа. Объективы микроскопа имеют линзы диаметром от 3 до 20 мм. Чем больше диаметр объектива (числовая апертура), тем больше света он собирает и выше разрешающая способность. Объектив диаметром 10 мм имеет площадь около 78,5 мм² и собирает почти в 7 раз больше света, чем объектив диаметром 4 мм (площадь 12,6 мм²). Это критично для наблюдения слабо освещенных объектов.
• Площадь бриллианта. Круглый бриллиант имеет площадь «стола» (верхней плоской грани) около 50–60% от диаметра камня. Бриллиант диаметром 6 мм имеет площадь около 28 мм², а площадь стола — около 16 мм². Эта площадь определяет блеск камня — через стол проходит и отражается большая часть света, создавая «игру» бриллианта.
• Золотое сечение и круг. Если взять круг и разделить его радиус в отношении золотого сечения (1:1,618), получится кольцо с особо гармоничными пропорциями. Внутренний радиус $r = R/\varphi \approx 0{,}618R$, где $\varphi \approx 1{,}618$. Площадь кольца составляет около 61,8% от площади исходного круга. Такие пропорции часто встречаются в архитектуре и дизайне.

Вопросы и ответы

Что такое площадь круга?

Площадь круга — это количественная мера плоской поверхности, ограниченной окружностью. Измеряется в квадратных единицах (см², м², га). Основная формула: $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус, $\pi \approx 3{,}14$. Круг имеет максимальную площадь среди всех фигур с заданным периметром — это делает круглую форму самой эффективной.

Как найти площадь круга?

Площадь вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Нужно возвести радиус в квадрат и умножить на π (≈3,14). Например, при радиусе 5 см: $S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ см². Если известен диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Если известна длина окружности: $S = \frac{C^2}{4\pi}$.

Что такое число π (пи)?

Число π — это математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру: $\pi = \frac{C}{d}$. Это отношение одинаково для всех окружностей. π — иррациональное и трансцендентное число: π ≈ 3,14159265358979... Для практических расчетов обычно используют π ≈ 3,14 или π ≈ 22/7. Число π — одна из важнейших констант в математике, физике, инженерии.

Как изменится площадь круга при увеличении радиуса вдвое?

При увеличении радиуса в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза, так как радиус входит в формулу во второй степени: $S_2 = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4S_1$. При увеличении радиуса в 3 раза площадь возрастет в 9 раз (3² = 9), в 10 раз — в 100 раз (10² = 100). Это квадратичная зависимость.

Можно ли найти радиус круга, зная только площадь?

Да, из формулы $S = \pi r^2$ можно выразить радиус: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$. Например, если площадь 78,5 см²: $r = \sqrt{\frac{78{,}5}{3{,}14}} = \sqrt{25} = 5$ см. Аналогично можно найти диаметр: $d = 2r = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$ или $d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$.

Как вычислить площадь круга через диаметр?

Используется формула $S = \frac{\pi d^2}{4}$, где $d$ — диаметр. Например, при диаметре 10 см: $S = \frac{3{,}14 \cdot 100}{4} = \frac{314}{4} = 78{,}5$ см². Можно сначала найти радиус $r = d/2$, затем применить основную формулу $S = \pi r^2$ — результат будет тот же.

Как найти площадь круга, зная длину окружности?

Используем формулу $S = \frac{C^2}{4\pi}$. Например, при длине окружности 31,4 см: $S = \frac{985{,}96}{12{,}56} = 78{,}5$ см². Альтернативный способ: сначала найти радиус $r = \frac{C}{2\pi}$, затем вычислить площадь $S = \pi r^2$.

Чему равна площадь кольца?

Кольцо — это область между двумя концентрическими окружностями. Площадь вычисляется как разность площадей большого и малого кругов: $S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$, где $R$ — внешний радиус, $r$ — внутренний. Например, при $R=10$ см и $r=6$ см: $S = 3{,}14 \cdot (100-36) = 200{,}96$ см².

Почему две маленькие пиццы могут быть меньше одной большой?

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Две пиццы диаметром 20 см имеют общую площадь $2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 628$ см², а одна пицца диаметром 28 см — площадь $\pi \cdot 14^2 = 616$ см². Они примерно равны. Но пицца диаметром 30 см имеет площадь 707 см², что больше двух пицц по 20 см. При выборе размера важно сравнивать площади, а не диаметры.

Как площадь круга используется в строительстве?

В строительстве площадь круга применяется для: 1) расчета площади круглых окон, люков, колонн; 2) определения площади поперечного сечения труб, свай, столбов; 3) расчета площади круглых помещений, бассейнов, фонтанов; 4) вычисления площади куполов (сферических сегментов); 5) планирования круглых площадок, клумб, газонов. Площадь сечения определяет прочность, несущую способность, пропускную способность.

Сколько краски нужно для покраски круглой поверхности?

Расход краски зависит от площади и нормы расхода (обычно 100–200 г/м² за слой). Сначала вычисляем площадь круга $S = \pi r^2$. Например, для круглой крышки диаметром 1 м площадь $S = 0{,}785$ м². При норме 150 г/м² и двух слоях потребуется $0{,}785 \cdot 150 \cdot 2 = 236$ г краски. Добавляют 10% запас.

Как площадь круга связана с площадью квадрата?

Круг, вписанный в квадрат, имеет площадь $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ от площади квадрата — около 78,5%. Квадрат, вписанный в круг, имеет площадь $\frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ от площади круга — около 63,7%. Круг — самая «экономная» фигура: при равном периметре он имеет максимальную площадь.

Что такое квадратура круга?

Квадратура круга — классическая задача античной математики: построить циркулем и линейкой квадрат, площадь которого равна площади данного круга. В 1882 году Линдеман доказал, что это невозможно, так как π — трансцендентное число. Однако приближенные построения возможны. Квадрат со стороной $a = r\sqrt{\pi}$ имеет площадь, равную площади круга радиуса $r$.

Как найти площадь сектора круга?

Сектор — часть круга между двумя радиусами. Площадь сектора с углом $\alpha$ (в градусах): $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360°}$. Например, сектор с углом 90° (четверть круга) радиусом 6 см имеет площадь $S = \frac{3{,}14 \cdot 36 \cdot 90}{360} = 28{,}26$ см² — ровно четверть площади круга (113,04 см²).

Сколько квадратных метров в круге диаметром 10 метров?

Радиус $r = 5$ м. Площадь: $S = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ м². Это площадь небольшой комнаты или круглой клумбы. Для сравнения: квадрат со стороной 10 м имеет площадь 100 м², то есть на 27% больше, чем вписанный в него круг.

Как площадь круга используется в медицине?

В медицине площадь круга применяется для: 1) расчета площади поперечного сечения кровеносных сосудов (определяет кровоток); 2) измерения площади зрачка (определяет количество света, попадающего в глаз); 3) оценки размера опухолей (площадь в поперечном сечении по томограмме); 4) расчета дозы облучения (площадь облучаемого поля); 5) определения площади ожогов и ран круглой формы.

Почему колеса делают круглыми?

Круглая форма колеса обеспечивает: 1) постоянное расстояние от центра до точки контакта с дорогой (плавное движение без тряски); 2) минимальное сопротивление качению; 3) равномерное распределение нагрузки; 4) максимальную прочность при минимальной массе; 5) простоту изготовления. Площадь контакта колеса с дорогой зависит от давления в шине и определяет сцепление.

Как рассчитать площадь орошения круговой системы?

Измеряем радиус действия системы (длину консоли с дождевателями) и вычисляем площадь круга $S = \pi r^2$. Система радиусом 200 м орошает $S = 3{,}14 \cdot 40000 = 125600$ м² = 12,56 га. Зная расход воды (например, 30 мм/сутки), можно рассчитать потребность: $125600 \cdot 0{,}03 = 3768$ м³ воды в сутки.

Что больше по площади: круг или правильный шестиугольник с тем же периметром?

При равном периметре круг всегда имеет большую площадь, чем любой многоугольник. Это изопериметрическое свойство круга. Если периметр круга и правильного шестиугольника равны $P$, площадь круга $S_\text{круга} = \frac{P^2}{4\pi}$, площадь шестиугольника $S_\text{6уг} = \frac{P^2\sqrt{3}}{24}$. Отношение $\frac{S_\text{круга}}{S_\text{6уг}} \approx 1{,}103$ — круг больше на 10,3%.

Как площадь круга используется в сельском хозяйстве?

В сельском хозяйстве площадь круга применяется для: 1) расчета площади орошения круговыми системами; 2) определения площади круглых загонов для скота; 3) расчета площади круглых зернохранилищ и силосных ям; 4) планирования круговых посевов; 5) расчета площади проекции кроны деревьев в садах. Круговое орошение — самый эффективный способ полива в засушливых регионах.

Сколько человек поместится в круглом помещении?

По нормам на одного человека требуется 1,5–2 м² площади. В круглом зале радиусом 10 м площадь $S = 3{,}14 \cdot 100 = 314$ м². При норме 2 м²/чел. поместится около 150–160 человек. Круглая форма зала обеспечивает хорошую акустику и обзор со всех мест, поэтому используется в амфитеатрах, цирках, планетариях.

Почему мыльные пузыри круглые?

Мыльная пленка стремится минимизировать площадь поверхности при заданном объеме воздуха внутри. Сфера (трехмерный аналог круга) имеет минимальную площадь поверхности среди всех тел с данным объемом. Поверхностное натяжение стягивает пленку, формируя сферу. Это проявление изопериметрической теоремы в физике. Капли воды в невесомости также принимают сферическую форму.

Как число π связано с площадью круга?

Число π — это коэффициент в формуле площади круга: $S = \pi r^2$. Исторически π определяли как отношение длины окружности к диаметру, но оно же входит в формулу площади. Это не совпадение: $S = \frac{1}{2}Cr = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ — площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.

Существует ли круг, у которого площадь численно равна длине окружности?

Да, из условия $\pi r^2 = 2\pi r$ находим $r = 2$. Круг радиусом 2 (в любых единицах) имеет площадь $S = \pi \cdot 4 = 4\pi$ и длину окружности $C = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$. Численно они равны, но имеют разные размерности: площадь в квадратных единицах, длина в линейных единицах.

Как площадь круга используется в технике?

В технике площадь круга применяется для: 1) расчета площади поперечного сечения валов, болтов, тросов (определяет прочность); 2) определения пропускной способности труб и отверстий; 3) расчета площади поршней, мембран, клапанов; 4) вычисления площади дисков, шестерен, подшипников; 5) проектирования круглых деталей и их оптимизации. Площадь сечения прямо влияет на характеристики изделия.