Площадь круга

Площадь круга равна числу π, умноженному на квадрат радиуса: $S = \pi r^2$. Калькулятор находит площадь круга по радиусу, диаметру или длине окружности и сразу показывает две другие величины.

Круг, окружность, радиус и диаметр

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью: все точки, расстояние от которых до центра не больше радиуса. Окружность – граница круга, замкнутая линия. Площадь есть у круга, а у окружности есть длина.

• радиус $r$ – отрезок от центра круга до окружности;
• диаметр $d = 2r$ – отрезок через центр, соединяющий две точки окружности;
• длина окружности $C = 2\pi r = \pi d$;
• число π ≈ 3,14159 – отношение длины окружности к диаметру, одинаковое для любого круга.

Формула площади круга

где $r$ – радиус круга, $\pi \approx 3{,}14$. Площадь измеряется в квадратных единицах: если радиус в сантиметрах, площадь круга – в см², если в метрах – в м².

Площадь круга через диаметр

Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому формула площади круга через диаметр:

Площадь круга через длину окружности

Длина окружности $C = 2\pi r$, отсюда площадь круга:

Как найти площадь круга: примеры с решением

Задача 1. Площадь круга с радиусом 5 см

Радиус известен, поэтому берем основную формулу: $S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 5^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$. Ответ: 78,5 см².

Задача 2. Площадь круга с диаметром 24 см

Известен диаметр – подставляем его в формулу через диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 576}{4} = 452{,}16$. Ответ: 452,16 см². Тот же результат получится, если сначала найти радиус 12 см.

Задача 3. Площадь клумбы, если длина окружности 31,4 м

Сначала находим радиус: $r = \frac{C}{2\pi} = \frac{31{,}4}{6{,}28} = 5$ м. Затем площадь круга: $S = 3{,}14 \cdot 5^2 = 78{,}5$ м².

Задача 4. Найти радиус по площади круга

Площадь круга 154 см². Выражаем радиус из формулы: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{154}{3{,}14}} \approx 7$ см.

Как связаны радиус, диаметр, длина окружности и площадь круга

Зная любую из четырех величин, можно найти остальные:

• по радиусу: $d = 2r,\ C = 2\pi r,\ S = \pi r^2$;
• по диаметру: $r = d/2,\ C = \pi d,\ S = \pi d^2/4$;
• по длине окружности: $r = C/(2\pi),\ S = C^2/(4\pi)$;
• по площади: $r = \sqrt{S/\pi}$.

Калькулятор делает это сам: введите радиус, диаметр или длину окружности – найдутся и остальные величины, и площадь круга.

Таблица площади круга

Площадь в квадратных единицах той же меры, что радиус и диаметр: при радиусе 10 см площадь круга – 314,16 см².

Частые ошибки при расчете площади круга

• Подставляют диаметр вместо радиуса. Площадь получается в 4 раза больше. Если дан диаметр, разделите его пополам или используйте формулу $S = \pi d^2/4$.
• Забывают возвести радиус в квадрат. $\pi r$ – это половина длины окружности, а не площадь.
• Путают площадь круга и длину окружности. Длина измеряется в сантиметрах или метрах, площадь круга – в см² или м².
• Смешивают единицы. Если радиус в сантиметрах, а ответ нужен в м², переведите радиус в метры до расчета: 50 см = 0,5 м, площадь – 0,785 м².

Во сколько раз площадь одного круга больше другого

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса: если радиус больше в 3 раза, площадь круга больше в 9 раз. Так решают задачи ОГЭ и ЕГЭ, где круги нарисованы на клетках: радиус считают по клеткам, а отношение площадей равно квадрату отношения радиусов.

Площадь кольца и сектора круга

Площадь кольца – разность площадей двух кругов: $S = \pi (R^2 - r^2)$. Площадь сектора с углом α в градусах – часть площади круга: $S = \pi r^2 \cdot \alpha / 360$. Сектор 90° – четверть круга.