Площадь поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π, радиуса основания и образующей: $S = \pi r l$. Калькулятор находит площадь основания, боковой и полной поверхности конуса по радиусу или диаметру основания и высоте либо образующей.

Формула площади боковой поверхности конуса

где $r$ – радиус основания, $l$ – образующая, то есть расстояние от вершины конуса до края основания. Если развернуть боковую поверхность конуса, получится сектор круга радиусом $l$ – его площадь и равна $\pi r l$.

Площадь полной поверхности конуса

К боковой поверхности прибавляют площадь основания – круга радиусом $r$:

Как найти образующую конуса

Радиус, высота и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора $l = \sqrt{r^2 + h^2}$. Если известны радиус и высота, сначала найдите образующую, затем площадь конуса.

Как найти площадь конуса: пример

Конус с радиусом основания 3 см и высотой 4 см:

• образующая: $l = \sqrt{9 + 16} = 5$ см;
• боковая поверхность: $3{,}14 \cdot 3 \cdot 5 = 47{,}1\ \text{см}^2$;
• площадь основания: $3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26\ \text{см}^2$;
• полная поверхность: $47{,}1 + 28{,}26 = 75{,}36\ \text{см}^2$.

Таблица площади конуса

Площадь в квадратных единицах той же меры, что радиус и высота. Объем конуса считает калькулятор объема конуса.

Типовые задачи ЕГЭ

• Диаметр основания равен 12, образующая 10. Найдите площадь осевого сечения.
  Радиус равен 6, высота $h = \sqrt{100 - 36} = 8$. Осевое сечение – равнобедренный треугольник с основанием 12 и высотой 8, его площадь $\tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$. Ответ: 48.
• Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию проведено сечение через середину высоты. Найдите площадь поверхности отсеченного конуса.
  Отсеченный конус подобен исходному с коэффициентом $k = \tfrac{1}{2}$. Площади относятся как квадрат коэффициента, значит $35 : 4 = 8{,}75$. Ответ: 8,75.
• Площадь основания конуса равна 48. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту пополам. Найдите площадь сечения.
  Тот же принцип подобия: $48 : 4 = 12$. Ответ: 12.
• Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота равна радиусу основания. Во сколько раз объем цилиндра больше?
  Объем конуса втрое меньше объема цилиндра при равных основании и высоте. Ответ: в 3 раза.

Частые ошибки в расчетах

• Путают образующую с высотой. Образующая всегда длиннее высоты: она гипотенуза, а высота – катет.
• Прибавляют два основания. У конуса основание одно, в отличие от цилиндра.
• Подставляют диаметр вместо радиуса. Результат окажется вдвое больше нужного.
• Не согласуют единицы. Радиус в сантиметрах и высота в метрах в одной формуле дадут неверный ответ.