Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара равна четырем площадям его большого круга: $S = 4\pi r^2$. Калькулятор находит площадь поверхности шара (сферы) по радиусу или диаметру – в см², м² и других квадратных единицах.

Формула площади поверхности шара

где $r$ – радиус шара, $\pi \approx 3{,}14$. Через диаметр формула площади сферы проще: так как $d = 2r$,

Как найти площадь поверхности шара: примеры

• Радиус 6 см. $S = 4 \cdot 3{,}14 \cdot 6^2 = 452{,}16\ \text{см}^2$.
• Диаметр 12 см – тот же шар: $S = 3{,}14 \cdot 12^2 = 452{,}16\ \text{см}^2$.
• Земля радиусом около 6 371 км: $S \approx 4 \cdot 3{,}14 \cdot 6371^2 \approx 510$ млн км².
• Радиус по площади. Если площадь сферы 314 см², то $r = \sqrt{S / (4\pi)} = \sqrt{314 / 12{,}56} = 5$ см.

Таблица площади поверхности шара

Площадь – в квадратных единицах той же меры, что радиус: при радиусе 10 см площадь поверхности шара – 1 256,64 см².

Шар и сфера

Сфера – это поверхность шара, а шар – тело, которое она ограничивает. Поэтому «площадь сферы» и «площадь поверхности шара» – одно и то же. Если радиус увеличить вдвое, площадь поверхности шара вырастет в 4 раза: радиус в формуле стоит в квадрате. Объем шара считает калькулятор объема шара.

Площадь шара и площадь круга

Большой круг – сечение шара через центр, его площадь $\pi r^2$. Площадь поверхности шара ровно в 4 раза больше. Еще Архимед доказал, что она равна площади боковой поверхности цилиндра, описанного вокруг шара: у такого цилиндра высота $2r$, и $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$.

Типовые задачи ЕГЭ

• Площадь большого круга равна 3. Найдите поверхность шара.
  Поверхность вчетверо больше: $4 \cdot 3 = 12$. Ответ: 12.
• Поверхность шара равна 12. Найдите площадь большого круга.
  Обратное действие: $12 : 4 = 3$. Ответ: 3.
• Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз больше его поверхность?
  Объем зависит от радиуса в третьей степени, поэтому радиус больше в $\sqrt[3]{27} = 3$ раза. Поверхность зависит от квадрата радиуса, значит она больше в 9 раз. Ответ: в 9 раз.
• Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, поверхность которого равна сумме их поверхностей.
  Складываем: $4\pi(36 + 64) = 4\pi \cdot 100$, откуда $R = 10$. Ответ: 10.

Частые ошибки при расчете площади шара

• Путают радиус с диаметром. Если в формулу $4\pi R^2$ подставить диаметр, ответ окажется вчетверо больше правильного.
• Забывают множитель 4. $\pi R^2$ – это большой круг, а не вся поверхность.
• Смешивают поверхность и объем. Первая измеряется в квадратных единицах, второй – в кубических.
• В задачах с цилиндром берут не ту поверхность. С боковой поверхность шара совпадает, а от полной составляет две трети.