Площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба равна шести площадям его грани: $S = 6a^2$. Калькулятор находит площадь поверхности куба по длине ребра, диагонали грани или диагонали куба – достаточно одной величины.

Формула площади поверхности куба

У куба 6 одинаковых граней-квадратов, площадь каждой $a^2$. Куб с ребром 5 см имеет площадь поверхности $6 \cdot 25 = 150\ \text{см}^2$. Площадь боковой поверхности – четыре грани без верхней и нижней: $S_{\text{бок}} = 4a^2$.

Площадь куба через диагональ

Диагональ грани $d = a\sqrt{2}$, поэтому $a^2 = d^2 / 2$ и $S = 3d^2$. Диагональ куба $D = a\sqrt{3}$, отсюда $S = 2D^2$.

Как найти площадь поверхности куба: примеры

• Ребро 4 см: $S = 6 \cdot 16 = 96\ \text{см}^2$.
• Диагональ грани 6 см: $S = 3 \cdot 36 = 108\ \text{см}^2$.
• Ребро по площади: если площадь поверхности 54 см², ребро $a = \sqrt{54 / 6} = 3$ см.

Таблица площади поверхности куба

Если ребро увеличить вдвое, площадь поверхности куба вырастет в 4 раза. Объем куба считает калькулятор объема куба.

Типовые задачи на площадь поверхности куба

• Площадь поверхности равна 18. Найдите диагональ куба.
  Из формулы площади находим ребро: $a = \sqrt{\frac{18}{6}} = \sqrt{3}$. Диагональ куба равна $d = a\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Ответ: 3.
• Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.
  Ребро равно $a = \sqrt{\frac{24}{6}} = 2$, тогда объем куба $V = 2^3 = 8$. Ответ: 8.
• Площадь поверхности равна 128. Найдите длину диагонали.
  $a = \sqrt{\frac{128}{6}}$, откуда $d = a\sqrt{3} = \sqrt{\frac{128 \cdot 3}{6}} = \sqrt{64} = 8$. Ответ: 8.
• Если каждое ребро куба увеличить на 1, площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
  Составляем уравнение $6(a+1)^2 - 6a^2 = 54$. Раскрываем скобки: $6(2a + 1) = 54$, значит $2a + 1 = 9$ и $a = 4$. Ответ: 4.
• Объем первого куба в 8 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше?
  Объем зависит от ребра в третьей степени, поэтому ребро больше в $\sqrt[3]{8} = 2$ раза. Площадь зависит от ребра в квадрате, значит она больше в $2^2 = 4$ раза. Ответ: в 4 раза.
• Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех ребер куба, если его ребро равно 7 дм.
  Площадь поверхности куба: $S = 6 \cdot 7^2 = 294$ дм². Сумма длин всех ребер: $P = 12 \cdot 7 = 84$ дм. Ответ: 294 дм² и 84 дм.

Частые ошибки при расчете площади куба

• Забывают умножить на шесть. $a^2$ – это площадь одной грани, а не всей фигуры: она в шесть раз больше.
• Путают диагональ куба и диагональ грани. Диагональ грани лежит на поверхности и равна $a\sqrt{2}$, а диагональ куба проходит внутри и равна $a\sqrt{3}$. Формулы разные: $3f^2$ и $2d^2$.
• Путают площадь и объем. Первая измеряется в квадратных единицах, второй – в кубических.
• Не согласуют единицы. Если ребро дано в сантиметрах, а ответ нужен в квадратных метрах, переводите величины до расчета.