Шестнадцатеричная система в двоичную

Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичные — одна из самых простых операций между системами счисления. Каждая HEX-цифра заменяется на 4 бита (двоичных разряда), что позволяет конвертировать числа без сложных вычислений. Этот метод работает благодаря тому, что 16 — степень числа 2 (2⁴), что обеспечивает прямое соответствие между системами.

Двоичная система счисления

Двоичная система использует всего два символа: 0 и 1. Каждый разряд числа представляет собой степень двойки.

В двоичной системе значение каждого разряда вычисляется по формуле:

где n - номер разряда (начиная с 0 справа налево)

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система использует 16 символов: цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F, которые представляют значения от 10 до 15 соответственно.

Значение каждого разряда вычисляется по формуле:

Алгоритм перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему

Каждую шестнадцатеричную цифру можно представить четырьмя двоичными разрядами.

Для чисел с дробной частью:

1. Отделите целую и дробную части
2. Переведите каждую часть отдельно
3. Объедините результаты через точку

Таблица соответствия 4-битных двоичных чисел и HEX-символов

Примеры конвертации

• $3_{16} = 0011_2$
• $\mathrm{B}_{16} = 1011_2$
• $1\mathrm{F}_{16} = 0001\ 1111_2$
• $\mathrm{FF}_{16} = 1111\ 1111_2$
• $A0_{16} = 1010\ 0000_2$
• $2\mathrm{D}.\mathrm{E}8_{16} = 0010\ 1101.1110\ 1000_2$
• $\mathrm{CAFE}_{16} = 1100\ 1010\ 1111\ 1110_2$
• $0.\mathrm{5C}4_{16} = 0.0101\ 1100\ 0100_2$
• $1\mathrm{AB}3\mathrm{F}_{16} = 0001\ 1010\ 1011\ 0011\ 1111_2$
• $\mathrm{FFFF}.\mathrm{FF}_{16} = 1111\ 1111\ 1111\ 1111.1111\ 1111_2$

Например, шестнадцатеричное число $\mathrm{B}7_{16}$ конвертируется в двоичное так:$B → 1011$, $7 → 0111$. Итог: $10110111_2$. Таблица помогает избежать ошибок при ручном переводе длинных чисел вроде $\mathrm{FFD}8_{16}$.

Интересные факты

• В играх для Nintendo шестнадцатеричные коды использовались для чит-кодов: например, 00FF00 активировал бессмертие
• Буквы A-F выбраны не случайно: это первые буквы алфавита, не совпадающие с цифрами (0-9)
• Цвет #DEAD16 («мёртвый рыжий») — популярный HEX-мем среди программистов
• Древние майя использовали двадцатеричную систему счисления, основанную на подсчете пальцев рук и ног. Эта система до сих пор частично сохранилась в некоторых современных языках.
• Выбор числа 16 как основания системы счисления не случаен - оно является степенью числа 2 (16 = 2⁴), что делает перевод между двоичной и шестнадцатеричной системами особенно удобным.
• MAC-адреса сетевых устройств записываются в шестнадцатеричной системе и состоят из шести пар цифр, например: 00:1B:44:11:3A:B7.
• В веб-разработке цвета часто задаются шестнадцатеричными числами: #FF0000 (красный), #00FF00 (зеленый), #0000FF (синий), где каждая пара цифр представляет интенсивность одного из основных цветов.
• Адреса в компьютерной памяти традиционно отображаются в шестнадцатеричной системе, так как это делает их более читаемыми по сравнению с двоичной записью.

Часто задаваемые вопросы

Почему в шестнадцатеричной системе счисления используют буквы A-F, а не другие символы?

Это исторический компромисс: в 1950-х годах IBM выбрала буквы как интуитивно понятные и отличные от цифр. Вариант с греческими буквами отвергли из-за сложности печати.

Как конвертировать шестнадцатеричные дроби в двоичные?

Каждую цифру после точки преобразуйте отдельно: $0.\mathrm{A}3_{16} = 0.1010\ 0011_2$. Точность зависит от количества шестнадцатеричных символов.

Есть ли исключения при переводе?

Нет — алгоритм работает для любых шестнадцатеричных чисел. Но важно сохранять ведущие нули:$\mathrm{F}_{16} = 1111_2$, а не $1111_2$ без указания системы.

Почему шестнадцатеричная популярнее восьмеричной системы?

HEX лучше совместим с байтами (8 бит = 2 HEX-символа). Восьмеричная (3 бита на символ) требует дополнения нулями, что усложняет работу с современными 32/64-битными системами.