Степени двойки – числа вида 2ⁿ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и дальше, каждое вдвое больше предыдущего. Здесь таблица степеней двойки от 2⁰ до 2¹²⁸ и отрицательных степеней, калькулятор 2ⁿ для степеней до 10 000 с точным значением и проверка, является ли число степенью двойки. На вкладке «Информатика» – степени двойки в единицах информации.
Таблица степеней двойки
Первые степени двойки полезно помнить наизусть: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 – это два в степени от 1 до 10. Дальше удобно опираться на то, что два в десятой степени примерно равно тысяче: два в двадцатой степени – около миллиона (точно 1 048 576), в тридцатой – около миллиарда (1 073 741 824), в сороковой – около триллиона.
| Степень | Значение | Примерно |
|---|---|---|
| 2 в степени 10 | 1 024 | тысяча |
| 2 в степени 16 | 65 536 | 65 тысяч |
| 2 в степени 20 | 1 048 576 | миллион |
| 2 в степени 30 | 1 073 741 824 | миллиард |
| 2 в степени 32 | 4 294 967 296 | 4,3 миллиарда |
| 2 в степени 40 | 1 099 511 627 776 | триллион |
| 2 в степени 64 | 18 446 744 073 709 551 616 | 18,4 квинтиллиона |
Нулевая и отрицательные степени двойки
Два в нулевой степени равно 1: при уменьшении показателя степени на единицу значение уменьшается вдвое, и от 2 получаем 1. Продолжая делить пополам, получаем отрицательные степени двойки: 0,5, 0,25, 0,125 и дальше. В общем виде 2⁻ⁿ = 1 / 2ⁿ. Отрицательные степени двойки всегда записываются конечной десятичной дробью, потому что 1 / 2ⁿ = 5ⁿ / 10ⁿ.
Свойства степеней двойки
- Произведение: 2ᵃ × 2ᵇ = 2ᵃ⁺ᵇ, например 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
- Частное: 2ᵃ / 2ᵇ = 2ᵃ⁻ᵇ, например 2¹⁰ / 2⁶ = 2⁴ = 16.
- Степень степени: (2ᵃ)ᵇ = 2ᵃᵇ, например (2³)² = 2⁶ = 64.
- Сумма всех предыдущих степеней на единицу меньше следующей: 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1.
- Последняя цифра положительных степеней повторяется с периодом 4: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6…
Последнее свойство объясняет старую задачу про шахматную доску: если на первую клетку положить одно зерно, на вторую – два и удваивать дальше, на 64 клетках окажется 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зерен – больше, чем собрало человечество за всю историю.
Степени двойки в информатике
Компьютер хранит данные в двоичном виде, поэтому степени двойки встречаются в информатике постоянно. N бит позволяют записать 2ᴺ разных значений: в байте 8 бит – 256 значений, от 0 до 255. Чтобы закодировать N вариантов, нужно столько бит, чтобы 2ⁱ было не меньше N: для 100 вариантов – 7 бит, потому что два в седьмой степени – 128.
Объем памяти тоже считают степенями двойки: в кибибайте 1024 байта, в мебибайте – 1024 кибибайта, в гибибайте – 1024 мебибайта. Производители дисков используют десятичные единицы: 1 ТБ = 10¹² байт. Поэтому диск на 1 ТБ операционная система показывает как 931 ГБ – это 10¹² / 2³⁰ ≈ 931,3. Перевести единицы помогает конвертер байтов в гигабайты, а записать число в двоичной системе – перевод из десятичной в двоичную.
Как проверить, что число – степень двойки
В двоичной записи степень двойки – единица с нулями: 2⁵ = 100000. Поэтому у нее ровно одна единица, а у числа n − 1 все разряды ниже этой единицы заполнены единицами. Отсюда проверка программистов: n & (n − 1) = 0. Без компьютера можно делить число на 2: если в конце получилась единица без остатков – это степень двойки. Возвести в любую другую степень поможет калькулятор степеней.
Вопросы о степенях двойки
Чему равно 2 в 10 степени?
Два в десятой степени – 1024. Это число близко к тысяче, поэтому 1024 байта назвали килобайтом.
Чему равно 2 в нулевой степени?
Единице: любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1. Это следует из правила 2ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ⁻ⁿ = 2⁰ = 1.
Чему равно 2 в минус первой степени?
2⁻¹ = 1/2 = 0,5. Отрицательная степень – это единица, деленная на ту же положительную степень: 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
Сколько будет 2 в 32 степени?
Два в 32 степени – 4 294 967 296: столько адресов в протоколе IPv4 и столько разных значений хранит 32-битное число.
Почему в килобайте 1024 байта, а не 1000?
Память компьютера адресуется двоичными числами, и удобнее брать степень двойки. Для точности ввели отдельные названия: 1024 байта – кибибайт (КиБ), а 1000 байт – килобайт (кБ).
Как узнать, является ли число степенью двойки?
В двоичной записи у степени двойки ровно одна единица: 64 = 1000000. Программисты проверяют это выражением n & (n − 1) = 0.