Таблица простых чисел

Таблица простых чисел – список чисел, которые делятся без остатка только на 1 и на себя. Здесь таблица простых чисел до 100, до 1000 и до 10 000, решето Эратосфена по шагам и проверка любого числа до триллиона: простое оно или составное, на какие простые множители раскладывается и сколько у него делителей.

Что такое простое число

Простое число – натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: единица и само число. Например, 13 делится только на 1 и 13, поэтому оно простое. Составное число имеет больше двух делителей: 15 делится на 1, 3, 5 и 15. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным – у него всего один делитель.

Двойка – единственное четное простое число: все остальные четные числа делятся на 2. Поэтому все простые числа, кроме 2, нечетные, а начиная с 5 оканчиваются на 1, 3, 7 или 9.

Простые числа от 1 до 100

До 100 всего 25 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97. Эти числа полезно знать наизусть – они нужны, чтобы сокращать дроби, искать НОД и НОК.

Чем дальше, тем реже встречаются простые числа: среди первой сотни их четверть, среди первой тысячи – около 17 %, а до 10 000 – уже около 12 %. При этом простых чисел бесконечно много – это доказал Евклид больше двух тысяч лет назад.

Решето Эратосфена

Древнегреческий математик Эратосфен придумал простой способ составить таблицу простых чисел. Выпишите числа от 2 до нужной границы и повторяйте шаги:

1. Возьмите первое невычеркнутое число – оно простое. Сначала это 2.
2. Вычеркните все числа, кратные ему, начиная с его квадрата: для 2 – это 4, 6, 8 и дальше.
3. Перейдите к следующему невычеркнутому числу и повторите.

Остановиться можно, когда квадрат очередного простого числа больше границы. Для таблицы до 100 достаточно вычеркнуть кратные 2, 3, 5 и 7: квадрат следующего простого, 11, уже 121. Все оставшиеся числа – простые. На вкладке «Решето Эратосфена» видно, какие числа вычеркивает каждый шаг.

Как проверить, простое ли число

Чтобы узнать, простое ли число, его делят на простые числа по порядку: 2, 3, 5, 7, 11 и дальше. Проверять делители больше квадратного корня из числа не нужно: если у числа есть делитель больше корня, то есть и парный ему меньше корня. Например, для 221 корень около 14,9, поэтому хватит проверить 2, 3, 5, 7, 11 и 13 – и 221 = 13 × 17, число составное.

Быстро отсеять многие числа помогают признаки делимости: на 2 делятся четные, на 3 – числа с суммой цифр, кратной 3, на 5 – числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Только для простой проверки есть отдельный калькулятор простое или составное число, а все делители числа покажет калькулятор делителей.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно записать как произведение простых чисел, и только одним способом: 360 = 2³ × 3² × 5. Это основная теорема арифметики. По разложению легко найти число делителей: показатели степеней увеличивают на 1 и перемножают. У 360 их (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24.