Таблица кубов и квадратов – значения n³ и n² для чисел от 0 до 99, собранные в сетку «десятки × единицы», как в школьном справочнике. Наведите на клетку, чтобы увидеть пример, переключитесь на список от 1 до 100 или посчитайте квадрат, куб, квадратный и кубический корень любого числа на вкладке «Вычислить».
Как пользоваться таблицей кубов и квадратов
В строке – десятки числа, в столбце – единицы. Квадрат 47 стоит в строке 4 и столбце 7: 47² = 2209. Куб 23 – в строке 2 и столбце 3: 23³ = 12 167. По таблице решают и обратную задачу: найдите в ней 3364 – это строка 5, столбец 8, значит √3364 = 58.
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1 000 |
Формулы сокращенного умножения
- Квадрат суммы и разности: (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
- Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).
- Куб суммы и разности: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.
- Сумма и разность кубов: a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).
С их помощью квадраты считают в уме: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601, а 49² = 2500 − 100 + 1 = 2401. Разность квадратов помогает умножать близкие числа: 48 × 52 = 50² − 2² = 2496.
Как запомнить квадраты и кубы
- Числа на 5. Десятки умножьте на следующее число и припишите 25: 75² = 7 × 8 = 56 и 25, то есть 5625.
- Последние цифры квадратов – только 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, не может быть квадратом целого числа.
- Последние цифры кубов все разные: 1 → 1, 2 → 8, 3 → 7, 4 → 4, 5 → 5, 6 → 6, 7 → 3, 8 → 2, 9 → 9. Поэтому кубический корень точного куба легко найти: у 103 823 последняя цифра 3, значит корень оканчивается на 7; 103 тысячи лежат между 4³ = 64 и 5³ = 125, значит корень 47.
- Сумма нечетных чисел. 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²: каждый следующий квадрат больше предыдущего на очередное нечетное число.
- Сумма кубов. 1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)², например 1 + 8 + 27 = 36 = 6².
Квадрат и куб в геометрии
Название «квадрат числа» пришло из геометрии: площадь квадрата со стороной a равна a², а объем куба с ребром a – a³. Если сторону увеличить вдвое, площадь вырастет в 4 раза, а объем – в 8. Посчитать объем куба и площадь его поверхности можно в отдельных калькуляторах, а возвести число в любую степень – в калькуляторе степеней.
Вопросы о квадратах и кубах
Чему равен 3 в кубе?
3³ = 3 × 3 × 3 = 27. А 2³ = 8, 4³ = 64, 5³ = 125.
Как быстро возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5?
Число десятков умножьте на следующее за ним число и припишите 25: 65² – это 6 × 7 = 42 и 25, то есть 4225.
Как найти кубический корень без калькулятора?
Если число – точный куб, последняя цифра корня определяется по последней цифре числа, а первая – по тысячам. Для 103 823: последняя 3 → корень оканчивается на 7, 103 между 4³ и 5³ → корень 47.
Может ли квадрат оканчиваться на 2, 3, 7 или 8?
Нет. Квадраты целых чисел оканчиваются только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Если число оканчивается на 2, 3, 7 или 8, оно не точный квадрат.
Чем отличается таблица кубов от таблицы квадратов?
В таблице квадратов – числа, умноженные на себя один раз (n × n), в таблице кубов – дважды (n × n × n).
Можно ли распечатать таблицу квадратов?
Да: кнопка «Распечатать» печатает таблицу квадратов или кубов до 99 или список квадратов и кубов от 1 до 100.